Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка обозначает место и не имеет длины. На чертеже её показывают небольшим следом карандаша, а рядом ставят заглавную латинскую букву, например A. Буква помогает отличить одну точку от другой и назвать её в задаче.

Прямая — линия, которая не имеет начала и конца. На листе её изображают частью линии, продолженной за отметки точек в обе стороны. Прямую можно обозначить двумя заглавными латинскими буквами, стоящими на ней, например AB; буквы помогают указать, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка: у отрезка AB концами являются A и B. Такое обозначение позволяет назвать фигуру и не спутать её с другими отрезками.

Угол образуют два луча с общим началом. Общую начальную точку называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла с лучами OA и OB вершина — O, а стороны — OA и OB; это помогает точно описать построенную фигуру.

Как это устроено

Чтобы изобразить точку, поставь на бумаге маленькую отметку и рядом напиши заглавную латинскую букву. Отметка показывает место, а буква служит названием точки. Не следует считать эту букву самой фигурой: точку изображает отметка, а буква только обозначает её. Если точек несколько, каждой дают свою букву, чтобы было понятно, о какой именно идёт речь.

Прямую чертят линейкой и мысленно продолжают за пределы листа в обе стороны. Края нарисованной линии — это лишь границы чертежа, а не концы прямой. Отрезок, напротив, имеет два заданных конца, поэтому его проводят только между двумя точками. Это различие важно: у прямой нет ограниченной длины, а длину отрезка можно измерить.

Луч получают, если на прямой отметить точку начала и выбрать направление. Часть линии от начала в выбранную сторону продолжают мысленно без конца. У отрезка есть два конца, а у луча только начало, поэтому они различаются даже тогда, когда на листе выглядят как похожие линии. Название луча обычно связывают с его началом и ещё одной точкой, указывающей направление.

Чтобы построить угол, отметь точку O и проведи из неё два луча, например OA и OB. Общая точка O становится вершиной, а каждый луч — стороной угла. Если лучи не совпадают, между ними образуется угол. Названия вершины и сторон позволяют объяснить, как устроен угол, и отличить его от других углов на чертеже.

Длину отрезка измеряют линейкой: совмести один конец отрезка с нулевой отметкой, затем посмотри, напротив какого деления находится второй конец. Если конец не совпадает с целым сантиметром, учитывай более мелкие деления. Угол измеряют транспортиром: его центр ставят на вершину, нулевую линию совмещают со стороной, а величину считывают у другой стороны. Если начало отсчёта не совпало с началом фигуры, результат будет неверным.

Основные геометрические фигуры

Сначала найди в таблице название нужной фигуры, затем сравни её устройство и обозначение. Последний столбец подсказывает, какой прибор понадобится для измерения. Для точки и прямой длину не находят, а отрезок и угол измеряют разными приборами.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назвать отрезок с концами A и B и показать его концы. Здесь важно не принять буквы за отдельные концы без самой линии: нужно указать фигуру, соединяющую отмеченные точки. Обозначение отрезка составляют из букв его концов.

1. Найди на чертеже отметки A и B.
2. Определи, какая часть линии проходит между этими точками.
3. Назови её отрезком AB; его концы — точки A и B.

Ответ: отрезок AB, концы — A и B. Порядок букв можно поменять: отрезки AB и BA обозначают одну и ту же фигуру. Проверка простая: обе названные точки должны быть концами выбранного отрезка.

Задача 2. Начертить отрезок длиной 4 см и обозначить его концы буквами C и D. Сначала нужно отложить требуемую длину, а после этого дать названия крайним точкам. Если начать отсчёт не от нуля линейки, длина получится другой.

1. Поставь линейку так, чтобы отметка 0 см совпала с началом чертежа.
2. Найди на шкале деление 4 см и поставь там вторую отметку.
3. Проведи между отметками прямую линию и обозначь её концы C и D.

Ответ: отрезок CD длиной 4 см. Проверь, что один конец стоит у нулевой отметки, а другой — у 4 см. Буквы можно поменять местами, если они стоят у разных концов отрезка.

Задача 3. Построить угол с вершиной O и сторонами OA и OB, затем измерить его транспортиром. Общей точкой двух лучей должна быть именно O, иначе получится не угол с заданной вершиной. При измерении важно выбрать подходящее начало шкалы прибора.

1. Отметь точку O и проведи из неё два луча через точки A и B.
2. Поставь центр транспортира точно на O, а нулевую линию совмести с лучом OA.
3. Посмотри, на каком делении шкалы проходит луч OB, и прочитай значение угла.

Ответ: построен угол AOB с вершиной O и сторонами OA и OB; его величина равна показанию транспортира. Числовое значение зависит от положения лучей, поэтому его определяют по чертежу. Для проверки убедись, что центр прибора остался на вершине, а ноль — на одной из сторон.

Типичные ошибки

• Считать, что прямая имеет концы. На листе линия ограничена краями чертежа, поэтому их легко принять за концы фигуры. Но эти края показывают только часть прямой. Проверь себя: мысленно продолжи линию в обе стороны — у прямой продолжение не прекращается.
• Путать луч и отрезок. Они могут выглядеть похоже, если на рисунке не показано продолжение луча. У отрезка два конца, а у луча есть начало и нет конца. Проверь, отмечены ли две границы или только точка, откуда начинается движение в одну сторону.
• Называть вершиной угла одну из его сторон. Стороны заметны как линии, поэтому их можно ошибочно назвать вершиной. Вершина — не линия, а общая точка начала двух лучей. Проверь: именно из этой точки выходят обе стороны угла.
• Измерять без совмещения с началом шкалы. Если край отрезка не стоит у нуля линейки или центр транспортира не совпадает с вершиной, отсчёт сместится. Такая ошибка возникает из-за невнимательного расположения прибора. Перед чтением шкалы проверь нулевую отметку, а для угла — ещё и совпадение нулевой линии со стороной.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими фигурами нужно различать точку и линию, пользоваться линейкой и читать заглавные латинские буквы. Эти умения помогают точно выполнять чертежи и записывать названия фигур. Понятия точки, отрезка и угла понадобятся при изучении треугольников и других многоугольников. Измерение отрезков пригодится для нахождения периметра, а работа с фигурами — при изучении площади.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной латинской буквой.
• Прямая не имеет начала и конца.
• Отрезок ограничен двумя точками.
• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Для длины отрезка используют линейку, для величины угла — транспортир.