Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка — это маленькая отметка, которая показывает место на плоскости. Её называют заглавной буквой, например A или B. У точки нет длины и ширины, поэтому она нужна для обозначения положения и построения других фигур.

Прямая — линия, которая не имеет ни начала, ни конца. На чертеже её изображают частью линии, мысленно продолжая в обе стороны. Прямую обозначают двумя точками, например AB, или одной строчной буквой.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, например A и B у отрезка AB. В отличие от прямой, длину отрезка можно измерить.

Угол образован двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Угол AOB имеет вершину O и стороны OA и OB.

Как это устроено

Точка обозначает определённое место, поэтому с неё начинают многие построения. Если отметить две разные точки A и B, через них можно провести одну прямую. Она одна, потому что положение линии задаётся двумя точками.

На прямой можно выбрать две точки и выделить часть между ними. Получится отрезок, а выбранные точки станут его концами. За пределами этих точек прямая продолжается, поэтому у неё нет концов, а у отрезка они есть.

Если у части прямой оставить только одно начало и продолжить линию в одну сторону, получится луч. Начало нужно, чтобы показать, откуда он выходит. Вторая сторона не заканчивается, поэтому конец у луча отсутствует.

Два луча образуют угол, если у них одно и то же начало. Сначала находят точку, откуда выходят оба луча: это вершина. Затем называют два луча, которые являются сторонами угла.

Чтобы измерить отрезок, прикладывают линейку так, чтобы его начало совпало с нулевой отметкой. Возле второго конца смотрят число на шкале и называют единицу измерения: сантиметры, миллиметры или другие единицы. Например, если конец совпал с отметкой 5, записывают: AB = 5 см.

Чем отличаются геометрические фигуры

Сначала найдите у фигуры начало и конец, а затем определите, в какую сторону она продолжается. Это помогает не путать прямую, луч и отрезок. В последнем столбце указано, какую характеристику фигуры можно измерять.

Разбор задач

Проведение прямой через две точки

На рисунке отмечены точки A и B. Нужно провести через них прямую и подписать её. Важно провести одну линию, которая проходит через обе точки, а не соединять точки короткой случайной чертой.

1. Приложим линейку так, чтобы её край проходил через A и B.
2. Проведём линию в обе стороны за точки A и B, потому что прямая не имеет концов.
3. Подпишем её двумя буквами: прямая AB. Можно также обозначить её строчной буквой, например a.

Ответ: проведена прямая AB, проходящая через точки A и B.

Построение отрезка длиной 5 см

Нужно начертить отрезок AB длиной 5 см и обозначить его концы. Начало отрезка удобно выбрать в нулевой отметке линейки, чтобы не выполнять лишнее вычитание.

1. Поставим точку A у отметки 0 на линейке.
2. Отложим по линейке 5 см и поставим в этом месте точку B.
3. Соединим точки A и B прямой линией и подпишем оба конца.

Ответ: отрезок AB, AB = 5 см.

Называние угла

Из точки O проведены лучи OA и OB. Нужно назвать вершину, стороны и обозначение угла. Для правильной записи сначала ищем общее начало лучей, а затем называем по одной точке на каждой стороне.

1. Находим общую для лучей точку O. Это вершина угла.
2. Называем стороны: луч OA и луч OB.
3. Записываем угол тремя буквами так, чтобы вершина стояла в середине: ∠AOB.

Ответ: вершина — O, стороны — OA и OB, обозначение — ∠AOB.

Типичные ошибки

Иногда считают, что прямая имеет концы, потому что на листе виден короткий кусок линии. На самом деле это только её изображённая часть, а мысленно прямая продолжается в обе стороны. Проверьте себя: если линия ограничена двумя точками, это отрезок, а не вся прямая.

Луч часто путают с отрезком. У луча один конец, а у отрезка два, поэтому проверьте, продолжается ли линия в одну сторону без конца. Если оба края ограничены, перед вами отрезок.

При измерении иногда прикладывают к началу отрезка отметку 1 см. Тогда результат получается неверным, потому что отсчёт начинается с нуля. Перед измерением убедитесь, что нулевая отметка совпадает с первым концом.

Вершиной угла называют одну из его сторон, но это ошибка. Вершина — точка, из которой выходят оба луча. Чтобы проверить ответ, найдите их общее начало и поставьте эту букву в середину обозначения угла.

Связь с другими темами

Для изучения геометрических фигур нужно уметь пользоваться линейкой, отличать прямую линию от её изображения и читать буквенные обозначения. Эти навыки помогают точно выполнять построения и записывать ответы.

Точка, отрезок и угол встречаются при изучении ломаной и многоугольников. Длины отрезков понадобятся для нахождения периметра фигур, а углы помогут описывать их строение.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной буквой.
• Прямая не имеет начала и конца.
• У луча есть начало, но нет конца в одном направлении.
• У отрезка два конца.
• Длину отрезка измеряют линейкой от нулевой отметки.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.