Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка — основная геометрическая фигура, которая показывает место на плоскости или в пространстве. Её отмечают маленькой точкой и обозначают одной заглавной буквой, например A. Это обозначение позволяет точно указать, о каком месте говорится. У точки нет длины и ширины.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают заглавными буквами, например AB. В отличие от прямой, отрезок имеет определённую длину, поэтому его можно измерить линейкой. Это нужно, когда требуется сравнить расстояния или выполнить чертёж.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Его обозначают двумя буквами: первой пишут точку начала, а второй — любую другую точку на луче, например луч CD. Буквы помогают показать направление. Изображение луча на листе заканчивается краем рисунка, но сам луч продолжается дальше.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Угол обозначают тремя заглавными буквами, причём вершину ставят в середине: ∠ABC. Такое обозначение помогает не перепутать угол, если у одной вершины их несколько.

Как это устроено

Точки служат ориентирами, из которых можно построить другие фигуры. Если через две точки провести линию в обе стороны, получится прямая; если оставить только часть между точками — отрезок, а если начать в одной точке и продолжить линию в одну сторону — луч. Поэтому фигуры отличаются тем, сколько у них концов: у прямой их нет, у отрезка два, у луча одно начало. На рисунке бесконечные линии показывают стрелками, ведь на листе нельзя изобразить их целиком.

Отрезки сравнивают наложением или измеряют линейкой. При измерении нулевую отметку линейки совмещают с началом отрезка, а число у второго конца показывает длину. Углы измеряют транспортиром: его центр помещают в вершину, а нулевую линию совмещают с одной стороной. Так сравнивают не длину сторон, а величину поворота от одной стороны к другой.

Величина угла показывает, насколько разошлись его стороны. Прямой угол равен 90°, острый меньше 90°, а тупой больше 90°, но меньше 180°. Развёрнутый угол равен 180°: его стороны направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой. Сравнение с прямым углом помогает определить вид угла даже без точного измерения.

Если соединить отрезки концами так, чтобы получилась замкнутая фигура, образуется многоугольник. Его стороны — отрезки, а места их соединения — вершины. У треугольника три стороны, потому что его замкнутый контур образуют три отрезка; у четырёхугольника — четыре. Число сторон помогает назвать фигуру и найти её периметр, сложив длины всех сторон.

Прямоугольник узнают по четырём прямым углам. Квадрат тоже имеет четыре прямых угла, но у него дополнительно все четыре стороны равны. Круг — часть плоскости внутри окружности, поэтому у него нет прямых сторон и углов. Чтобы распознать фигуру среди других, нужно проверять её признаки, а не ориентироваться только на внешний вид или положение на рисунке.

Основные геометрические фигуры и их признаки

Сначала найди в таблице название фигуры, затем прочитай, чем она ограничена и по какому признаку её узнают. Последний столбец подсказывает, как обозначить фигуру или каким инструментом выполнить измерение. Если признаки похожи, сравни их внимательно: например, квадрат отличается от прямоугольника равенством всех сторон.

Разбор задач

Начертить отрезок AB длиной 5 см и луч CD.

Отрезок нужно ограничить двумя отмеченными концами, а его длину задать линейкой. У луча отмечают только начало и направление, поэтому важно не ставить вторую точку как конец луча. Буквы в названии отрезка соответствуют его концам, а в названии луча первая буква указывает начало. Построим фигуры по очереди.

1. Поставь линейку на лист и отметь точку A у деления 0 см. Убедись, что линейка не сдвигается.
2. Найди деление 5 см и поставь там точку B. Соедини A и B по линейке и подпиши концы буквами.
3. Отметь точку C и проведи от неё линию через точку D. Продолжи линию за D и поставь стрелку, чтобы показать продолжение луча.

Проверь, что расстояние между A и B равно 5 см, а у луча отмечено начало C. Точка D находится на луче и не является его концом. Ответ: построен отрезок AB длиной 5 см и луч CD с началом C.

Определить вид угла, если его величина равна 90°, 45° и 120°.

Для определения вида угла сравним каждую величину с 90° и 180°. Угол ровно в 90° называют прямым, меньший угол — острым, а угол между 90° и 180° — тупым. Такое сравнение показывает не только название, но и положение сторон. Развёрнутым был бы угол величиной 180°.

1. Угол 90° равен прямому углу. Значит, это прямой угол.
2. Угол 45° меньше 90°. Значит, это острый угол.
3. Угол 120° больше 90°, но меньше 180°. Значит, это тупой угол.

Проверка: острый угол должен быть меньше прямого, а тупой — больше прямого, но не развёрнутым. Все три величины соответствуют этим условиям. Ответ: 90° — прямой, 45° — острый, 120° — тупой.

Найти периметр прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см и определить, какие из его углов являются прямыми.

У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому если две соседние стороны имеют длины 6 см и 3 см, то остальные имеют такие же длины соответственно. Периметр — это сумма длин всех сторон. Вид углов определяем по признаку прямоугольника, а не по тому, как фигура нарисована. Выполним вычисление и проверку признака.

1. Запишем длины сторон по порядку: 6 см, 3 см, 6 см и 3 см.
2. Сложим их: 6 + 3 + 6 + 3 = 18. Единица измерения остаётся сантиметром.
3. У прямоугольника все четыре угла прямые, каждый равен 90°. Значит, прямыми являются все его углы.

Периметр получен сложением четырёх сторон, а не умножением длины на ширину. Проверка: сумма двух длинных сторон равна 12 см, а двух коротких — 6 см; вместе получается 18 см. Ответ: периметр равен 18 см, все четыре угла прямые.

Типичные ошибки

Луч принимают за отрезок, потому что на листе виден его конец. Так происходит из-за того, что рисунок ограничен размером бумаги. Проверяй, есть ли у линии стрелка: у луча она показывает бесконечное продолжение, а у отрезка отмечены оба конца. Не делай вывод только по длине нарисованной части.

При обозначении угла вершину иногда ставят не на второе место. Ошибку допускают, если читают буквы как обычное название и не проверяют, какая точка общая для сторон. Найди место соединения лучей и поставь его букву в середину обозначения. Например, у ∠ABC вершина — B.

Не каждый четырёхугольник является прямоугольником. Ученик может ориентироваться на число сторон или на то, что фигура выглядит похожей на прямоугольник. Проверь каждый угол: у прямоугольника все четыре угла должны быть прямыми. Если хотя бы один угол не прямой, одного числа сторон недостаточно, чтобы назвать фигуру прямоугольником.

При измерении угла можно приложить центр транспортира не к вершине или начать отсчёт не от нуля. Тогда показание получится неверным, даже если транспортир лежит близко к углу. Совмести центр с вершиной, нулевую линию — с одной стороной и выбери шкалу, которая начинается от этого нуля. После измерения проверь, соответствует ли результат виду угла.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическими фигурами нужно уметь считать в пределах изученных чисел, пользоваться линейкой и различать длину от величины угла. Эти навыки соединяются при построении и измерении чертежей. Знания об отрезках и углах пригодятся при изучении периметра и площади фигур, а также при решении практических задач. Геометрия помогает измерять расстояния, планировать расположение предметов и распознавать их форму.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной буквой.
• Отрезок имеет два конца, а луч — только начало.
• Длину отрезка измеряют линейкой.
• Угол состоит из вершины и двух сторон-лучей.
• Прямой угол равен 90°.
• Квадрат имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла.
• Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.