Геометрический материал

Определения и обозначения

Точка показывает точное место на плоскости. Её изображают маленькой отметкой и называют заглавной буквой: точка А. Такое обозначение помогает указать нужное место на чертеже.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца: она продолжается в обе стороны. Её можно обозначить двумя точками, лежащими на ней, например прямой АВ. Буквы помогают назвать прямую и отличить её от других линий.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и обозначают заглавными буквами, например отрезок АВ. По концам понятно, где отрезок начинается и заканчивается, поэтому его можно измерить.

Угол образуют два луча с общим началом. Общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла. Вершину обозначают заглавной буквой, например О, чтобы было ясно, где сходятся стороны.

Как это устроено

Точку на чертеже изображают маленькой отметкой и рядом пишут её заглавную букву, например А. Прямую проводят через две обозначенные точки и продолжают линию в обе стороны, потому что у неё нет границ. Две буквы указывают, через какие точки проходит прямая. Точки сами по себе не показывают, продолжается ли линия, поэтому смотрят на чертёж целиком.

Чтобы получить отрезок, отметь на прямой две точки, например А и В, а затем выдели часть линии между ними. Точки А и В становятся концами отрезка: за ними он не продолжается. Отрезок можно измерить линейкой, потому что расстояние между его концами ограничено. Совмести нулевую отметку линейки с одним концом и прочитай число у другого.

Луч строят, отмечая его начало, например О, и проводя линию от этой точки в одном направлении. Если на луче отметить точку А, его можно назвать лучом ОА: первая буква показывает начало. В отличие от прямой, луч имеет начало, а в отличие от отрезка, не имеет конца. Поэтому линию луча продолжают в одну сторону, а не ограничивают второй точкой.

Для построения угла проведи из одной точки, например О, два луча в разных направлениях. Они образуют угол, а О становится его вершиной, потому что именно там начинаются обе стороны. Если на сторонах отметить точки А и В, угол можно назвать АОВ: буква вершины стоит в середине. Такое обозначение помогает не перепутать угол с другими углами на чертеже.

Чертёж состоит из геометрических фигур, которые можно называть и рассматривать по их элементам: у отрезка это концы, у угла — вершина и стороны. Сначала найди на рисунке точки, затем определи, какие линии и фигуры они образуют. Линейка помогает проводить прямые линии и строить отрезки заданной длины. При измерении совмещай деления линейки с концами отрезка, а не с продолжением линии.

Сравнение геометрических фигур

Сравнивай фигуры по наличию начала и конца: так легче отличить луч от отрезка и прямой. В столбце обозначений проверь, какие точки нужно назвать. Длина относится к отрезку, а угол описывают вершиной и сторонами.

Разбор задач

1. Назвать фигуру и её концы

Условие. На рисунке отмечены точки А и В, их соединяет линия. Нужно назвать фигуру и указать её концы. Сначала выясним, ограничена ли линия этими точками.

1. Проверим, заканчивается ли линия в точках А и В. Если она не продолжается за них, перед нами отрезок, а не прямая.
2. Назовём отрезок буквами его концов. На чертеже это точки А и В.
3. Запишем обозначение АВ и назовём обе точки. Порядок букв в названии отрезка можно поменять: ВА обозначает тот же отрезок.

Ответ. Это отрезок АВ; его концы — точки А и В. Если бы линия продолжалась за обе точки, её следовало бы назвать прямой. Поэтому при распознавании важно смотреть на границы фигуры.

2. Начертить отрезок длиной 4 см

Условие. Нужно построить отрезок длиной 4 см и обозначить его концы буквами М и N. Линейка поможет отложить нужное расстояние. Проверь, что отсчёт начинается с нулевой отметки.

1. Поставим линейку на лист и отметим точку М у деления 0 см. От этой точки будем откладывать длину, чтобы начало измерения не сместилось.
2. Найдём деление 4 см и отметим там точку N. Расстояние между отметками равно четырём сантиметрам.
3. Соединим точки М и N прямой линией. Получившийся ограниченный участок — отрезок МN.

Ответ. Начерчен отрезок МN длиной 4 см. Проверь его, совместив отметку 0 линейки с точкой М. У деления 4 см должна оказаться точка N.

3. Построить и назвать угол

Условие. Нужно провести луч с началом О через точку А, а затем из О провести второй луч через точку В. Общая начальная точка будет вершиной угла. Назовём угол так, чтобы вершина оказалась в середине обозначения.

1. Отметим точку О и проведём из неё луч через точку А. Буква О показывает начало луча, а А лежит на его стороне.
2. Проведём из той же точки О второй луч через точку В. Убедимся, что оба луча начинаются именно в О.
3. Назовём угол АОВ, поставив букву вершины О между буквами А и В. Так в названии указаны обе стороны и их общая вершина.

Ответ. Получен угол АОВ с вершиной О. Его стороны — лучи ОА и ОВ. Буква О в середине названия помогает узнать вершину угла.

Типичные ошибки

Называть отрезок прямой. Отрезок ограничен двумя концами, а прямая продолжается в обе стороны. Путают их, когда смотрят только на то, что обе фигуры выглядят как линия. Проверь себя: если видны концы, это отрезок.

Считать, что у луча два конца. У луча есть начало, но нет конца. Ошибка возникает, если принять край рисунка за конец луча: на чертеже линию просто не продолжают дальше. Проверь, отмечена ли вторая граничная точка; если нет, это не конец луча.

Измерять прямую или луч как отрезок. У прямой и луча нет двух концов, между которыми можно определить полную длину. Иногда измеряют только нарисованную часть линии, но это лишь участок изображения. Проверь, ограничена ли фигура двумя точками: измерять длину можно у отрезка.

Обозначать угол без указания общей вершины. Стороны угла должны начинаться в одной точке, а эта точка и есть вершина. Путаются, если называют точки на сторонах, не проверив, откуда проведены лучи. Проверь чертёж: выбранная вершина должна быть общей для обеих сторон и стоять в середине названия угла.

Связь с другими темами

Перед изучением геометрических фигур нужно уметь пользоваться линейкой, различать заглавные буквы и находить точки на рисунке. Эти навыки нужны, чтобы правильно строить и называть прямые, лучи и отрезки. Позже отрезки станут сторонами многоугольников, а их длины помогут находить периметр. Умение распознавать углы пригодится при изучении фигур и измерении углов.

Что запомнить

• Точку обозначают заглавной буквой.
• Прямая не имеет ни начала, ни конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Длину измеряют у отрезка.
• Угол образуют два луча с общей вершиной.