Сложение и вычитание

Определения и обозначения

Сложение — действие, при котором несколько количеств объединяют; его результат называют суммой. Например, если к трём карандашам добавить два, получится пять карандашей. Сложение помогает узнать общее количество, когда известны части.

Слагаемое — каждое из чисел, которые складывают. В записи 3 + 2 = 5 числа 3 и 2 — слагаемые, а 5 — сумма. Названия помогают понять, какие числа объединяют и какое число получилось.

Вычитание — действие, при котором из одного количества убирают часть или находят, на сколько одно число больше другого. Например, если было 8 яблок и 3 съели, вычитание покажет, сколько осталось. Оно также помогает узнать неизвестную часть или сравнить два количества.

Разность — результат вычитания. В записи 8 − 3 = 5 числа 8 и 3 называют соответственно уменьшаемым и вычитаемым, а 5 — разностью. Это название позволяет отличить ответ от чисел, с которыми выполняют действие.

Как это устроено

Представь две группы предметов: в одной 4 кубика, в другой 3. Чтобы узнать, сколько кубиков всего, группы объединяют и складывают числа: 4 + 3 = 7. Если поменять группы местами, общее количество останется тем же, поэтому слагаемые можно переставлять: 4 + 3 = 3 + 4. Это удобно, когда один порядок вычислять легче другого.

Вычитание показывает, что остаётся после уменьшения количества, или помогает найти часть, если известно целое. В записи 12 − 5 = 7 число 12 — уменьшаемое, потому что его уменьшают; число 5 — вычитаемое, а 7 — разность. Порядок здесь важен: сначала записывают количество, от которого отнимают, затем то, которое убирают. Если нужно узнать, на сколько 12 больше 5, действие будет таким же: 12 − 5.

При вычислении многозначных чисел столбиком важно, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. Тогда в каждом столбце складываются числа одного разряда, а не единицы с десятками. Вычисление начинают с единиц, потому что при сложении в этом разряде может появиться новый десяток. Его нужно перенести в следующий столбец и прибавить к десяткам.

При вычитании в каком-либо разряде может не хватить единиц. Тогда одну единицу соседнего старшего разряда занимают и заменяют десятью единицами текущего разряда: один десяток — это десять единиц, одна сотня — десять десятков. После займа число в старшем разряде уменьшается на единицу, поэтому его нельзя оставить без изменения. Такой переход позволяет продолжить вычитание по разрядам.

Проверка обратным действием помогает заметить ошибку, потому что она связывает исходные числа и ответ другим способом. Сумму можно проверить так: вычесть из неё одно слагаемое и получить другое. Разность проверяют сложением вычитаемого и разности: должно получиться уменьшаемое. Ноль при сложении и вычитании не меняет число: a + 0 = a и a − 0 = a, поскольку к количеству ничего не добавляют и из него ничего не убирают.

Компоненты сложения и вычитания и проверка действий

Сначала найди в таблице нужное действие и названия его чисел, затем посмотри, каким действием проверяют результат. Примеры с нулём показывают, что добавление или убирание нуля не меняет число. Для проверки подставь в обратное действие свои числа: должен получиться исходный компонент.

Разбор задач

Вычислить устно: 27 + 13 и 54 − 20

Разложим числа на десятки и единицы, чтобы отдельно выполнить действие с каждым разрядом. При сложении единицы 7 и 3 составляют десяток, а десятки 20 и 10 дают ещё 30. При вычитании из 54 убираем два десятка, единицы остаются прежними.

1. 27 + 13 = (20 + 7) + (10 + 3) = 30 + 10 = 40.
2. 54 − 20 = (50 − 20) + 4 = 30 + 4 = 34.

Ответ: 27 + 13 = 40; 54 − 20 = 34. При разложении числа на десятки и единицы проще увидеть, какие части изменяются. Можно проверить сложение: 40 − 13 = 27.

Вычислить столбиком: 3687 + 2456 и 7000 − 2846

Записываем числа так, чтобы совпали разряды, и начинаем вычисления справа, с единиц. В сложении переносим десяток, когда сумма в столбце больше 9. В вычитании занимаем единицу старшего разряда, если в текущем столбце уменьшаемого цифра меньше цифры вычитаемого.

1. Записываем 3687 над 2456, выравнивая числа по правому краю. Единицы: 7 + 6 = 13, пишем 3, переносим 1 десяток.
2. Десятки: 8 + 5 + 1 = 14, пишем 4 и переносим 1. Сотни: 6 + 4 + 1 = 11, пишем 1 и переносим 1. Тысячи: 3 + 2 + 1 = 6, значит, сумма равна 6143.
3. Для 7000 − 2846 занимаем по разрядам: в единицах получаем 10 − 6 = 4. В десятках после займа остаётся 9: 9 − 4 = 5; в сотнях также занимаем, получаем 9 − 8 = 1. В тысячах после займа остаётся 6, и 6 − 2 = 4, значит, разность равна 4154.
4. Проверяем: 6143 − 2456 = 3687, а 4154 + 2846 = 7000.

Ответ: 3687 + 2456 = 6143; 7000 − 2846 = 4154. В первом примере переносы увеличивали соседние разряды, а во втором займы уменьшали их. Обратные действия подтвердили оба результата.

Задача о книгах

В школьной библиотеке было 1250 книг. Сначала 378 книг выдали ученикам, а затем купили ещё 246 книг. Требуется узнать, сколько книг стало после обоих изменений. Удобно считать по порядку: сначала книг стало меньше, затем их количество увеличилось.

1. Краткая запись: было — 1250 книг; выдали — 378 книг; купили — 246 книг; стало — ? книг.
2. Находим, сколько книг осталось после выдачи: 1250 − 378 = 872.
3. Прибавляем новые книги: 872 + 246 = 1118.

Ответ: в библиотеке стало 1118 книг. Сначала мы вычли выданные книги, потому что их убрали из библиотеки. Затем выполнили сложение, так как покупка увеличила оставшееся количество.

Типичные ошибки

Если записать числа не по разрядам, в одном столбце окажутся, например, единицы и десятки. Так бывает, когда числа выравнивают по первой цифре, а не по правому краю. Перед вычислением проверь: единицы стоят под единицами, десятки под десятками.

При сложении иногда забывают перенести единицу, если сумма разряда больше 9, или при вычитании после займа не уменьшают соседний разряд. Причина часто в том, что считают только цифры текущего столбца и не записывают перенос или заём. Проверяй каждый следующий столбец и выполни обратное действие: оно поможет обнаружить неверный ответ.

В вычитании можно ошибочно поменять числа местами или перепутать уменьшаемое с вычитаемым. Это случается, если не обращать внимания на порядок записи: сначала указывают число, от которого отнимают. Прочитай действие вслух и убедись, что уменьшаемое стоит первым; менять местами слагаемые можно, а уменьшаемое и вычитаемое — нельзя.

Если не проверить ответ обратным действием, ошибка в вычислениях может остаться незамеченной. Простое повторение того же вычисления не всегда помогает, потому что можно снова ошибиться в том же месте. Проверь сумму вычитанием, а разность сложением и сравни полученное число с исходным компонентом.

Связь с другими темами

Для сложения и вычитания многозначных чисел нужно знать разряды и классы чисел, состав числа по разрядам и таблицу действий в пределах 20. Эти действия помогают решать текстовые задачи на объединение, увеличение, уменьшение и сравнение величин. Они также понадобятся при умножении и делении, вычислениях с величинами и дробями. Умение проверить ответ помогает контролировать вычисления в каждой из этих тем.

Что запомнить

• Сложение объединяет числа, а вычитание уменьшает число или показывает разницу.
• При сложении числа называют слагаемыми, результат — суммой.
• При вычитании первое число — уменьшаемое, второе — вычитаемое, результат — разность.
• При записи столбиком одинаковые разряды располагают друг под другом.
• Вычисления столбиком начинают с единиц.
• Сложение проверяют вычитанием, а вычитание — сложением.
• При сложении с нулём число не изменяется; при вычитании нуля число также не изменяется.