Взаимное положение прямых на плоскости

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — прямые на плоскости, у которых есть одна общая точка. Эта точка называется точкой пересечения. Например, две дороги на карте могут пересечься в одном месте; это название помогает точно указать, где встретились прямые.

Параллельные прямые — прямые на плоскости, которые не пересекаются. Для записи используют знак ∥: например, a ∥ b читается «прямая a параллельна прямой b». Такое обозначение удобно, когда нужно коротко показать на чертеже или в записи, что общих точек у прямых нет.

Перпендикулярные прямые — прямые, которые пересекаются под прямым углом. Их обозначают знаком ⟂: a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Этот знак помогает отличить пересечение под прямым углом от пересечения под другим углом.

Точка пересечения — общая точка двух пересекающихся прямых. Через неё проходят обе прямые, поэтому она принадлежит каждой из них. Это понятие нужно, чтобы назвать или отметить место встречи прямых на чертеже.

Как это устроено

Две прямые на плоскости могут пересечься или не иметь общих точек. Чтобы различить эти случаи, проверь, встречаются ли линии на чертеже, и мысленно продолжи их в обе стороны. Если они встретятся, прямые пересекаются; если не встретятся и при продолжении, они параллельны. Смотреть нужно именно на прямые, а не только на их короткие нарисованные части.

У двух разных пересекающихся прямых бывает только одна общая точка. Если бы у них были две общие точки, через эти две точки можно было бы провести только одну прямую, и прямые совпали бы. Поэтому при пересечении двух разных прямых отмечают одно место встречи и называют его точкой пересечения.

Параллельные прямые не пересекаются даже при продолжении в обе стороны. Представь две ровные линии на школьной тетради: они идут рядом на одинаковом расстоянии и не сходятся. На коротком отрезке рисунка этого может быть не видно, поэтому нужно помнить, что прямая продолжается бесконечно в обоих направлениях.

Перпендикулярность — особый случай пересечения: прямые сначала встречаются, а затем образуют прямой угол. Его величина равна 90°, и проверить это можно угольником или транспортиром. Если при пересечении получился угол не 90°, прямые пересекаются, но не являются перпендикулярными.

Чтобы определить взаимное положение прямых по рисунку, сначала ищи общую точку, а затем, если она есть, проверяй угол. Для построения пересекающихся прямых проведи две линии через выбранную точку. Для перпендикулярных воспользуйся угольником, а для параллельных — линейкой и угольником: передвинь угольник, не меняя направление его стороны, и проведи вторую линию.

Взаимное положение двух прямых на плоскости

Сначала найди в таблице, есть ли у прямых общая точка. Если точка есть, сравни угол между прямыми с прямым углом. Обозначение выбирай только после этой проверки.

Разбор задач

Задача 1

Условие. По рисунку определите, пересекаются ли прямые a и b, параллельны ли они или перпендикулярны. На чертеже линии могут быть изображены не полностью. Поэтому сначала нужно оценить, встречаются ли они и каким будет угол при встрече.

1. Проверь, имеют ли прямые общую точку. Если точки нет на рисунке, мысленно продолжи обе прямые в обе стороны.
2. Если прямые не встретятся, сделай вывод, что они параллельны. Если встретятся, переходи к проверке угла.
3. Приложи угольник к месту пересечения или измерь угол транспортиром. Угол 90° означает, что прямые перпендикулярны.

Ответ. Если общих точек нет, прямые параллельны. Если есть одна точка, прямые пересекаются; при прямом угле они перпендикулярны. Без самого рисунка выбрать один из этих вариантов нельзя.

Задача 2

Условие. Начертите прямую m и проведите через точку вне неё прямую, параллельную m. Точка не должна лежать на прямой m. Нужно провести через неё новую прямую, сохранив направление исходной.

1. Проведи прямую m и отметь точку вне неё. Приложи один край угольника к прямой m.
2. Положи линейку вдоль другого края угольника и удерживай линейку неподвижно. Передвигай угольник по линейке, пока его край не пройдёт через отмеченную точку.
3. Проведи по этому краю прямую через точку. Она сохраняет направление m и не пересечёт её.

Ответ. Проведённая прямая параллельна m. Запись: n ∥ m, где n — новая прямая. Проверь построение, продолжив обе прямые в обе стороны: у параллельных прямых не должно быть общей точки.

Задача 3

Условие. Прямые a и b пересекаются под прямым углом. Назовите их взаимное положение и запишите его обозначением. Здесь уже указано, что угол прямой, поэтому нужно связать это свойство с названием и знаком.

1. Отметь, что прямые пересекаются: у них есть общая точка.
2. Уточни вид угла. Прямой угол равен 90°, значит, одного факта пересечения недостаточно — важно также указанное условие об угле.
3. Назови прямые перпендикулярными и запиши знак перпендикулярности между буквами a и b.

Ответ. Прямые a и b перпендикулярны. Запись: a ⟂ b. Они также являются пересекающимися, поскольку имеют общую точку.

Типичные ошибки

Ошибка — называть любые пересекающиеся прямые перпендикулярными. Её допускают, потому что смотрят только на наличие общей точки и не проверяют угол. Проверь себя угольником или транспортиром: перпендикулярные прямые образуют угол 90°.

Ошибка — считать прямые параллельными только потому, что они не встретились на коротком рисунке. Нарисованная часть может быть слишком маленькой, и поэтому кажется, что линии не пересекутся. Продолжи их мысленно в обе стороны: прямые параллельны, только если общих точек не будет и дальше.

Ошибка — путать прямую и отрезок. Отрезок ограничен двумя концами, а прямая не имеет концов и продолжается бесконечно; из-за этого короткие части прямых принимают за целые прямые. Проверь, есть ли у изображённой фигуры концы, и учитывай продолжение прямой за пределы рисунка.

Ошибка — ставить знак ∥ или ⟂, не проверив чертёж. Знак показывает определённое свойство, а не просто похожее направление или видимый угол. Перед записью проверь, что параллельные прямые не пересекаются, а перпендикулярные образуют прямой угол.

Связь с другими темами

Для работы с этой темой нужно знать, что такое точка, прямая, отрезок и прямой угол, а также уметь пользоваться линейкой и угольником. Прямой угол связывает положение прямых с измерением углов и построением перпендикуляров. Эти знания пригодятся при изучении геометрических фигур, свойств углов и построений на плоскости.

Что запомнить

• Две прямые на плоскости либо пересекаются, либо не имеют общих точек.
• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
• Параллельные прямые не пересекаются.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• Любые перпендикулярные прямые являются пересекающимися, но не любые пересекающиеся — перпендикулярными.