Высота треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — отрезок перпендикуляра, проведённого из вершины к противоположной стороне или к прямой, на которой она лежит. Иначе говоря, высота идёт от угла треугольника к стороне напротив него под прямым углом. Это определение помогает отличить высоту от других отрезков, проведённых внутри треугольника.

Перпендикуляр — прямая или отрезок, который образует с другой прямой прямой угол. Прямой угол равен 90°. Это понятие нужно, чтобы проверить, правильно ли проведена высота: без прямого угла отрезок высотой не будет.

Основание высоты — точка, в которой высота пересекает противоположную сторону или её продолжение. Продолжение стороны — это прямая линия, идущая дальше за её конец. Основание показывает, где именно высота встречается со стороной или этой линией.

Высоты треугольника — три отрезка, проведённые из трёх его вершин перпендикулярно противоположным сторонам или их продолжениям. Из каждой вершины можно провести свою высоту. Это определение помогает не забыть, что речь идёт не об одном отрезке, а обо всех трёх высотах треугольника.

Как это устроено

Высоту проводят из вершины к противоположной стороне под прямым углом. Это условие важно, потому что от вершины к стороне можно провести много разных отрезков, но только перпендикулярный будет высотой. Поэтому при построении нужно не просто соединить вершину со стороной, а проверить прямой угол. Основание высоты — точка, где этот перпендикуляр встретился со стороной или её продолжением.

Чтобы построить высоту, используй угольник: его прямой угол помогает провести перпендикуляр. Приложи один катет угольника к стороне или её продолжению, затем передвинь угольник так, чтобы другой катет проходил через нужную вершину. Проведи линию по этому катету от вершины до стороны. Так высота получится перпендикулярной, а не наклонной к стороне.

В остроугольном треугольнике все три угла меньше прямого. Поэтому перпендикуляр, проведённый из любой вершины к противоположной стороне, встречает саму сторону, а не её продолжение. Значит, каждая высота проходит внутри треугольника. При построении обычно достаточно приложить угольник к противоположной стороне и совместить его с вершиной.

В тупоугольном треугольнике один угол больше прямого. Из-за такого наклона сторон перпендикуляр из некоторых вершин встречает не отрезок противоположной стороны, а прямую за его концом. В этих случаях высота проходит вне треугольника. Чтобы её построить, продолжи нужную сторону и проведи перпендикуляр к полученной прямой.

В прямоугольном треугольнике два катета образуют прямой угол, поэтому каждый катет перпендикулярен другому. Из вершины на одном конце катета к противоположному катету высота совпадает с другим катетом; так же устроена высота из другой вершины. Третью высоту проводят из вершины прямого угла к гипотенузе — стороне напротив прямого угла. Катеты можно сразу распознать как две высоты, проверив, что угол между ними прямой.

Где расположены высоты треугольника

Сначала определи вид треугольника по его углам, затем найди в таблице нужную строку. По ней удобно проверить, где искать основание высоты и нужно ли продолжать сторону. В прямоугольном треугольнике отдельно помни о двух высотах, которые совпадают с катетами.

Разбор задач

Построение высоты из вершины A

Условие. В остроугольном треугольнике ABC проведи высоту из вершины A. Нужно найти отрезок, который выходит из A и образует прямой угол со стороной, лежащей напротив этой вершины. В треугольнике ABC противоположная вершине A сторона — BC.

1. Найди сторону BC и приложи к ней один катет угольника.
2. Передвинь угольник, сохраняя его положение у стороны, пока другой катет не пройдёт через вершину A.
3. Проведи по этому катету отрезок от A до BC и обозначь точку пересечения буквой H.
4. Проверь угольником, что угол AHB прямой; отрезок AH будет высотой.

Ответ. AH — высота треугольника ABC, её основание — точка H на стороне BC. Она проведена из вершины A перпендикулярно BC. Поскольку треугольник остроугольный, отрезок AH проходит внутри него.

Высоты в прямоугольном треугольнике

Условие. Треугольник ABC прямоугольный, угол C — прямой. Назови две его высоты. Стороны AC и BC — катеты, потому что они образуют прямой угол; противоположная сторона AB называется гипотенузой. Чтобы найти высоты, проверь, какие стороны уже перпендикулярны сторонам напротив них.

1. Отметь, что AC перпендикулярна BC, так как угол C равен 90°.
2. Рассмотри вершину A: отрезок AC идёт к противоположной стороне BC под прямым углом.
3. Рассмотри вершину B: отрезок BC идёт к противоположной стороне AC под прямым углом.
4. Следовательно, оба катета подходят под определение высоты.

Ответ. Две высоты — AC и BC. Каждая совпадает с одним из катетов, потому что катеты перпендикулярны друг другу. Третья высота идёт из вершины C к гипотенузе AB.

Высота к продолжению стороны

Условие. В тупоугольном треугольнике ABC угол B — тупой. Построй высоту из вершины A к стороне BC. Угол B больше прямого, поэтому перпендикуляр из A может встретить прямую BC за точкой B. Значит, искать основание только на отрезке BC не нужно.

1. Продолжи сторону BC за точку B по прямой.
2. Приложи один катет угольника к прямой BC и передвинь угольник так, чтобы другой катет проходил через A.
3. Проведи из A перпендикуляр до продолжения BC и отметь точку пересечения H.
4. Проверь, что AH образует прямой угол с прямой BC.

Ответ. AH — высота из вершины A, а H — её основание на продолжении стороны BC. Высота может лежать вне треугольника, поскольку перпендикуляр пересекает не саму сторону, а её продолжение. Прямой угол подтверждает, что построение выполнено верно.

Типичные ошибки

Ошибка — назвать высотой любой отрезок из вершины к противоположной стороне. Так можно решить, если смотреть только на то, что отрезок соединяет вершину и сторону, но забыть про прямой угол. Проверь построение угольником: высота обязана быть перпендикулярна стороне или её продолжению. Если угол не прямой, нужно провести отрезок заново.

Ошибка — считать, что высота всегда находится внутри треугольника. Это представление возникает потому, что в остроугольном треугольнике все высоты действительно проходят внутри. В тупоугольном две высоты могут оказаться снаружи. Проверь, не пересекает ли перпендикуляр продолжение стороны за её концом.

Ошибка — провести высоту из точки на стороне, а не из вершины. Можно спутать высоту с другим перпендикулярным отрезком внутри треугольника. По определению высота начинается в одной из трёх вершин. Перед проверкой прямого угла убедись, что один конец отрезка совпадает с вершиной.

Ошибка — не продолжить сторону тупоугольного треугольника. Если основание перпендикуляра находится за концом стороны, на самом отрезке его не получится отметить. Продли сторону по прямой, а затем проведи перпендикуляр к ней. Проверь, что основание лежит на стороне или её продолжении, а не на соседней стороне треугольника.

Связь с другими темами

Для изучения высоты нужно знать, где находятся вершины и стороны треугольника, а также уметь распознавать прямой угол и перпендикулярные прямые. Эти знания помогают выбрать правильную сторону и проверить построение. Высота встретится и в теме площади треугольника: её используют при вычислении площади. Поэтому важно уметь находить основание высоты и проводить перпендикуляр, в том числе к продолжению стороны.

Что запомнить

• Высота треугольника выходит из вершины.
• Высота перпендикулярна противоположной стороне или её продолжению.
• Основание высоты — точка пересечения высоты со стороной или её продолжением.
• У треугольника три высоты.
• В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри.
• В тупоугольном треугольнике две высоты могут лежать вне треугольника.
• В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами.