Высота треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол. Поэтому высотой считают не любой отрезок от вершины, а только такой, который перпендикулярен основанию.

Основание треугольника — сторона, к которой проводят высоту. Основанием можно выбрать любую сторону треугольника. После выбора основания сразу становится понятно, из какой противоположной вершины нужно проводить высоту.

Основание высоты — точка, в которой высота пересекает выбранную сторону или её продолжение. Например, если высота из вершины A пересекает прямую BC в точке H, то H — основание высоты. На чертеже эту точку отмечают буквой, а высоту обозначают отрезком AH.

Обозначение высоты — отрезок, опущенный из вершины перпендикулярно к основанию. Обычно высоту называют двумя буквами её концов, например AH. Маленький квадратик у точки H показывает, что угол AHB прямой.

Как это устроено

Сначала выбирают вершину и основание, потому что высота связывает именно их. Если основание — сторона BC, противоположная ему вершина — A. Значит, искомый перпендикуляр нужно проводить из A к прямой BC, а не к одной из соседних сторон.

Высота образует с основанием прямой угол, потому что так определяется перпендикуляр. На чертеже угол в месте пересечения отмечают маленьким квадратиком. Такая отметка помогает проверить построение даже тогда, когда линии нарисованы не совсем точно.

Для построения высоты один катет угольника прикладывают к основанию. Затем угольник передвигают так, чтобы его другой катет проходил через нужную вершину, и проводят линию по этому катету. После этого проверяют, что линия пересекает основание под прямым углом.

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше 90°. Поэтому перпендикуляр из любой вершины пересекает противоположную сторону именно внутри её отрезка. Все три высоты в таком треугольнике проходят внутри фигуры.

В тупоугольном треугольнике один угол больше 90°, поэтому направление некоторых перпендикуляров не попадает на сам отрезок противоположной стороны. Тогда сторону мысленно или с помощью линейки продолжают за вершину, и высота пересекает это продолжение. Из-за этого часть высоты оказывается вне треугольника, хотя она всё равно правильно проведена из вершины и перпендикулярна нужной прямой.

Расположение высоты в зависимости от вида треугольника

Сначала определите вид треугольника и выбранное основание. Затем найдите противоположную вершину и проверьте, попадает ли основание высоты на саму сторону или на её продолжение.

В любом случае главным признаком остаётся прямой угол. Если он есть, положение высоты внутри или вне треугольника не мешает считать её высотой.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC выбрана сторона BC. Укажите вершину, из которой нужно провести высоту, и назовите основание.

1. Выбранная сторона BC является основанием треугольника.
2. Ищем вершину, которая не входит в обозначение BC.
3. Такой вершиной является A, поэтому из неё проводят перпендикуляр к BC.

Ответ: высоту проводят из вершины A, основание треугольника — сторона BC.

Задача 2

Постройте высоту треугольника ABC из вершины A к стороне BC и обозначьте прямой угол.

1. Выберите сторону BC как основание.
2. Приложите один катет угольника к BC и передвиньте угольник так, чтобы второй катет прошёл через A.
3. Проведите через A линию до пересечения с BC и обозначьте точку пересечения H.
4. Поставьте маленький квадратик у угла AHB, чтобы показать перпендикулярность.

Ответ: отрезок AH — высота, потому что AH ⟂ BC, а угол AHB равен 90°.

Задача 3

В тупоугольном треугольнике нужно провести высоту из вершины острого угла к противоположной стороне и её продолжению.

1. Выберите вершину острого угла и найдите противоположную ей сторону.
2. Проверьте, пересекает ли перпендикуляр сам отрезок стороны. Если нет, продолжите сторону за ближайшую вершину.
3. Приложите угольник к прямой, содержащей сторону, и проведите через выбранную вершину перпендикуляр.
4. Обозначьте точку пересечения на продолжении и отметьте прямой угол.

Ответ: высота проходит из выбранной вершины к продолжению противоположной стороны и может оказаться вне треугольника.

Типичные ошибки

Иногда высотой называют любой отрезок от вершины к противоположной стороне. Ошибка возникает потому, что ученик смотрит только на начало и конец отрезка. Проверьте наличие прямого угла между отрезком и основанием.

Другой промах — проведение высоты к соседней стороне. Её выбирают по близости к вершине, забывая о противоположной стороне. Проведите мысленно линию через выбранную вершину: основание должно находиться напротив неё.

Некоторые считают, что высота обязательно лежит внутри треугольника. Так бывает не всегда: в тупоугольном треугольнике приходится продолжать сторону. Проверьте не только сам отрезок стороны, но и прямую, на которой он лежит.

Ещё одна ошибка — отсутствие прямого угла или неточное построение угольником. Без отметки трудно доказать, что линии перпендикулярны. Приложите угольник повторно и отметьте угол квадратиком.

Связь с другими темами

До изучения высоты нужно уметь находить вершины и стороны треугольника. Также понадобится угольник, с помощью которого строят перпендикулярные линии. Эти навыки помогают правильно выбрать основание и противоположную вершину.

Понятие высоты связано с перпендикуляром и прямым углом. Если ученик умеет распознавать угол 90° и строить его, проверить высоту становится проще.

Позже высота понадобится при изучении площади треугольника и других геометрических построений. Она показывает расстояние от вершины до прямой, содержащей основание.

Что запомнить

• Высота проводится из вершины треугольника.
• Высота перпендикулярна противоположной стороне или её продолжению.
• Сторону, к которой проводят высоту, выбирают основанием.
• У треугольника можно выбрать любое основание.
• Высота может находиться вне треугольника.
• Прямой угол между высотой и основанием отмечают на чертеже.