Высота треугольника

Определения и обозначения

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Например, из вершины A треугольника ABC высота опускается на прямую BC. Такое определение подходит для треугольников любой формы: нужная прямая может проходить не только по стороне, но и по её продолжению. Высота нужна, чтобы изучать устройство треугольника и, например, находить его площадь.

Основание высоты — точка, в которой высота пересекает прямую противоположной стороны. Если высота из A пересекает прямую BC в точке H, то H — основание этой высоты. Оно может лежать на самой стороне BC или на её продолжении. Обозначение основания помогает точно указать, к какой стороне проведён перпендикуляр.

Высотой называют не всю прямую, а отрезок перпендикуляра от вершины до его основания: например, отрезок AH. Продолжать его за точку H для определения высоты не нужно, потому что высота соединяет вершину с прямой противоположной стороны. Такой отрезок имеет определённую длину, которую можно измерить или использовать в вычислениях. Прямой угол между высотой и стороной отмечают небольшим значком квадрата.

Как это устроено

Чтобы построить высоту, сначала выбирают вершину, из которой её проводят. Затем находят прямую, содержащую противоположную сторону, и проводят к ней перпендикуляр; если сторона короткая или расположена неудачно, продлевают её линейкой. Основание обозначают точкой пересечения перпендикуляра с этой прямой. Проверка проста: у основания должен получиться прямой угол.

В остроугольном треугольнике каждый угол меньше прямого, поэтому перпендикуляр из любой вершины попадает на противоположную сторону между её концами. Значит, основания всех трёх высот находятся на сторонах, а отрезки высот проходят внутри треугольника. Это удобно при построении: стороны не приходится продолжать. Высоту всё равно определяют по прямому углу, а не только по тому, где она расположена.

В тупоугольном треугольнике один угол больше прямого. Из вершины этого угла перпендикуляр попадает на противоположную сторону, но из двух других вершин он может пересечь не сам отрезок стороны, а его продолжение. Поэтому такие высоты оказываются за пределами треугольника. Продолжение используют потому, что по определению высота перпендикулярна прямой стороны, а не обязательно самому отрезку.

В прямоугольном треугольнике катеты уже перпендикулярны друг другу. Поэтому каждый катет является высотой, проведённой из его конца к прямой другого катета: основание такой высоты совпадает с вершиной прямого угла. Третья высота идёт из вершины прямого угла к гипотенузе, то есть к стороне напротив этого угла. Она обычно не совпадает ни с одним катетом.

Из каждой вершины можно провести свою высоту, поэтому у треугольника их три. Хотя эти перпендикуляры строят в разных местах, все три пересекаются в одной точке. В остроугольном треугольнике точка пересечения находится внутри, в тупоугольном — вне треугольника, а в прямоугольном совпадает с вершиной прямого угла. Это показывает, что расположение высот меняется, но их общая точка есть у любого треугольника.

Расположение высот в треугольниках разных видов

Сначала определите вид треугольника, а затем проверьте, где располагаются основания высот. Таблица подсказывает, понадобится ли продолжать сторону. В любом случае перпендикуляр нужно проводить к прямой противоположной стороны.

Разбор задач

Задача 1

В треугольнике ABC проведите высоту из вершины A и обозначьте её основание. Нужно построить именно высоту, поэтому сначала определим сторону, противоположную вершине A: это BC. Перпендикуляр следует провести к прямой BC, даже если точка пересечения окажется на продолжении стороны. Буквой H удобно обозначить основание высоты.

1. Проведите прямую, содержащую сторону BC, при необходимости продлив отрезок.
2. Из вершины A постройте перпендикуляр к этой прямой.
3. Точку пересечения обозначьте H, а отрезок AH назовите высотой.

Ответ: AH — высота треугольника ABC, H — её основание; AH ⟂ BC.

Задача 2

В тупоугольном треугольнике требуется провести высоту из вершины острого угла, но перпендикуляр не пересекает противоположную сторону внутри треугольника. Это не означает, что высоту провести нельзя: по определению нужна прямая противоположной стороны, а не только сам отрезок. Поэтому следует продлить эту сторону в нужном направлении. Основание высоты окажется на продолжении.

1. Найдите сторону, противоположную выбранной острой вершине.
2. Продлите эту сторону до пересечения с будущим перпендикуляром.
3. Из вершины проведите перпендикуляр к полученной прямой и отметьте точку пересечения.

Ответ: высота проведена к прямой противоположной стороны; её основание лежит на продолжении стороны, а сам отрезок может находиться вне треугольника.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике нужно отметить все три высоты и определить, какие совпадают со сторонами. Пусть прямой угол находится в вершине C, а катеты — CA и CB. Так как CA ⟂ CB, каждый катет подходит под определение высоты к прямой другого катета. Оставшаяся высота начинается в C и перпендикулярна гипотенузе AB.

1. Отметьте прямой угол C и стороны CA, CB, AB.
2. Укажите CA как высоту из A к прямой CB, а CB — как высоту из B к прямой CA.
3. Из C проведите перпендикуляр к AB и обозначьте его основание, например, H.

Ответ: две высоты совпадают с катетами CA и CB; третья — CH, перпендикуляр к гипотенузе AB.

Типичные ошибки

Ошибка — считать высотой только отрезок внутри треугольника. Так думают, потому что в остроугольном треугольнике все высоты действительно проходят внутри, но это не верно для всех видов треугольников. В тупоугольном две высоты могут лежать вне его. Проверьте себя: перпендикуляр проведён из вершины к прямой противоположной стороны — значит, это высота независимо от её положения.

Иногда перпендикуляр пытаются опустить только на сам отрезок стороны и останавливаются, если он его не пересекает. Причина — подмена прямой конечным отрезком, хотя в определении говорится о прямой, содержащей сторону. Продлите сторону и снова проведите перпендикуляр. Если он образует прямой угол с этой прямой, построение верно.

Отрезок от вершины к противоположной стороне без прямого угла принимают за высоту. Такую ошибку легко допустить, если ориентироваться только на то, что отрезок соединяет вершину и сторону: он может быть медианой или биссектрисой. Для проверки отметьте прямой угол у основания. Если угол не прямой, этот отрезок не является высотой.

Высоту путают с её основанием: отрезок принимают за точку или точку — за отрезок. Термины звучат похоже, а на чертеже они расположены рядом, поэтому полезно обозначать их отдельно. Высота — перпендикулярный отрезок от вершины, основание — точка пересечения с прямой стороны. Самопроверка: назовите отрезок и отдельно укажите точку, где он заканчивается.

Связь с другими темами

Для построения высоты нужно знать, что такое перпендикулярные прямые и как провести перпендикуляр. Если забыли это правило, сначала вспомните, что перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом. Затем определите противоположную сторону и проведите к её прямой перпендикуляр из вершины. Так построение высоты становится применением уже знакомого геометрического действия.

Высота понадобится при изучении площади треугольника и других многоугольников. Она показывает расстояние от вершины до прямой, на которой лежит основание фигуры, и поэтому помогает описывать её размеры. При решении задач важно различать саму высоту и сторону, к которой её провели. Это позволяет правильно выбирать данные для вычислений.

Что запомнить

• Высота треугольника проводится из вершины перпендикулярно прямой противоположной стороны.
• Основание высоты — точка пересечения высоты с прямой противоположной стороны.
• Высота может лежать вне треугольника.
• В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами.
• У треугольника три высоты.
• Высоты треугольника пересекаются в одной точке.