Считаем до 1000000 (повторение)

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которым считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Натуральные числа образуют ряд, у которого нет последнего числа. После чисел до тысячи продолжаются числа с десятками и сотнями тысяч, а затем встречается миллион. Это понятие помогает понять, что миллион — не отдельный вид числа, а продолжение знакомого счёта.

Разряд — место цифры в записи числа, которое определяет её значение. Справа налево идут разряды единиц, десятков, сотен, тысяч и далее. Одна и та же цифра в разных разрядах обозначает разное количество: 7 в разряде единиц — это семь, а в разряде тысяч — семь тысяч. Разряды нужны, чтобы точно читать число и понимать его состав.

Класс — группа из трёх соседних разрядов. Справа расположен класс единиц, в который входят единицы, десятки и сотни; слева от него — класс тысяч: тысячи, десятки тысяч и сотни тысяч. Классы помогают делить длинную запись числа на удобные части. При чтении сначала называют число в классе тысяч, затем — в классе единиц.

Миллион — число 1 000 000, в записи которого единица стоит в разряде миллионов, а остальные разряды заполнены нулями. Оно больше любого шестизначного числа и следует за 999 999. Запись с пробелами по классам помогает не потерять нули и быстро увидеть, сколько цифр в числе. Миллион показывает, как натуральный ряд продолжается после сотен тысяч.

Как это устроено

Когда к 999 999 прибавляют единицу, в разряде единиц получается десять единиц, которые заменяются одним десятком; такой же переход происходит дальше. Десять десятков образуют сотню, десять сотен — тысячу, и перенос продолжается через все заполненные разряды. В итоге появляется единица в новом, миллионном разряде, а справа от неё записываются шесть нулей. Поэтому следующее число — 1 000 000: изменяется запись, но счёт продолжается без пропуска чисел.

Чтобы прочитать или записать многозначное число, мысленно раздели его справа налево на группы по три цифры. Это деление соответствует классам: например, в записи 508 032 слева стоит класс тысяч 508, справа — класс единиц 032. Сначала произносят название класса тысяч, затем читают класс единиц, не называя его отдельно. Группировка нужна потому, что одинаковый порядок чтения повторяется в каждом классе и длинную запись легче проверить.

Значение цифры определяется разрядом, потому что каждый следующий разряд слева в десять раз больше предыдущего. Так, цифра 6 в разряде тысяч означает 6 000, а цифра 6 в разряде десятков означает 60. Число можно представить суммой разрядных слагаемых: каждое слагаемое показывает значение одной ненулевой цифры. Такой разбор помогает увидеть состав числа и проверять вычисления; разряды с нулём слагаемых не дают.

При сравнении сначала полезно посчитать цифры: каждое натуральное число с большим количеством цифр больше любого числа с меньшим количеством цифр. Если цифр поровну, начинают со старшего разряда слева, потому что его значение больше значений всех разрядов правее, взятых вместе. При совпадении цифр переходят к следующему разряду, пока не найдут различие. Например, в 708 095 и 708 509 первые три цифры совпадают, но в разряде сотен у второго числа стоит 5, а у первого — 0.

Чтобы расположить числа по возрастанию, сначала находят самое маленькое сравнением, затем выбирают следующее из оставшихся. Для убывания порядок обратный: первым ставят самое большое число. Сравнение по старшим разрядам объясняет, почему такая расстановка верна, а не только подсказывает готовый порядок. Если часть чисел совпадает по старшим разрядам, их место определяют по первому разряду, в котором они различаются.

Разряды и классы в записи многозначных чисел

Чтобы определить разряд, найди цифру в нужном столбце: каждый столбец внутри класса отвечает за сотни, десятки или единицы этого класса. Например, в числе 345 678 цифры 3, 4 и 5 образуют класс тысяч. Таблица также помогает увидеть, почему цифры одинакового вида могут обозначать разные значения в разных классах.

Разбор задач

Задача 1. Записать цифрами число пятьсот восемь тысяч тридцать два и прочитать получившуюся запись. Слова «пятьсот восемь тысяч» задают класс тысяч, а «тридцать два» — класс единиц. В классе единиц нет сотен, поэтому при записи этой части нужен ноль. Разделение на классы помогает не перепутать 32 с 302.

1. Записываем класс тысяч: пятьсот восемь — это 508.
2. Записываем класс единиц: тридцать два — это 032, так как сотен единиц нет.
3. Соединяем классы пробелом: 508 032.
4. Читаем получившееся число слева направо: пятьсот восемь тысяч тридцать два.

Ответ: 508 032; читается «пятьсот восемь тысяч тридцать два».

Задача 2. Разложить число 406 205 на разрядные слагаемые и указать значение каждой цифры. Сначала разделяем число на классы: 406 тысяч и 205 единиц. Затем определяем разряд каждой цифры справа налево, не забывая, что нули тоже занимают свои места. Ненулевые цифры дают слагаемые, а нулевые разряды в сумму не записываются.

1. Цифра 4 стоит в разряде сотен тысяч и обозначает 400 000.
2. Цифра 0 стоит в разряде десятков тысяч и обозначает отсутствие десятков тысяч; цифра 6 в разряде тысяч обозначает 6 000.
3. В классе единиц цифра 2 в разряде сотен обозначает 200, цифра 0 в разряде десятков — отсутствие десятков, а цифра 5 в разряде единиц — 5.
4. Складываем ненулевые значения: 406 205 = 400 000 + 6 000 + 200 + 5.

Ответ: 4 — 400 000, 0 — 0 десятков тысяч, 6 — 6 000, 2 — 200, 0 — 0 десятков, 5 — 5. Разрядные слагаемые: 400 000, 6 000, 200 и 5.

Задача 3. Сравнить 708 095 и 708 509, затем расположить их вместе с числом 709 000 по возрастанию. Во всех трёх числах одинаковое количество цифр, значит, сравнение начинаем слева. Первые две цифры совпадают, затем сравниваем сотни тысяч, десятки тысяч и тысячи; когда они также совпадают, переходим к сотням. Такой порядок не позволяет ошибочно решить по младшим цифрам.

1. В числах 708 095 и 708 509 первые три цифры одинаковы: 708.
2. В разряде сотен у 708 095 стоит 0, а у 708 509 — 5, поэтому 708 095 < 708 509.
3. Сравниваем 708 509 и 709 000: сотни тысяч и десятки тысяч совпадают, но в разряде тысяч 8 меньше 9, значит, 708 509 < 709 000.
4. Объединяем результаты сравнения в порядок от меньшего к большему.

Ответ: 708 095 < 708 509 < 709 000.

Типичные ошибки

Число могут читать, не разделяя на классы, и смешивать тысячи с единицами. Так происходит, когда длинную запись пытаются произнести цифра за цифрой, не замечая границ групп. Мысленно отделяй справа тройки цифр и сначала читай класс тысяч, затем класс единиц. Для проверки назови, сколько тысяч содержится в записи, и сверь это с левой группой.

При записи иногда пропускают ноль в разряде, где нет единиц, например превращают 5 032 в 532. Ноль кажется ненужным, но без него соседние цифры смещаются и обозначают уже другие разряды. Проверяй число, разделив его на классы и сопоставив каждую цифру с нужным местом. Если в классе единиц отсутствуют сотни, но есть десятки и единицы, ноль в разряде сотен обязателен.

Можно ошибочно считать, что цифра всегда обозначает одно и то же количество. Это происходит, если запомнить название цифры, но не учитывать её место: 4 в числе может означать и 4, и 40, и 400 000. Назови разряд цифры и умножь её значение на соответствующую единицу разряда. Проверка разложения на сумму разрядных слагаемых сразу показывает, верно ли определено значение.

При сравнении иногда начинают с младших разрядов или выбирают большее число по отдельной цифре. Такой способ ненадёжен: значение старшего разряда может быть больше суммарного вклада нескольких младших. Сначала сравни количество цифр, а при равном количестве двигайся слева направо до первого различия. Чтобы проверить порядок, выпиши найденные знаки сравнения и убедись, что они идут от меньшего числа к большему.

Связь с другими темами

Для работы с числами до миллиона нужно уметь считать в пределах тысячи и знать названия разрядов. Понимание позиционного значения цифры помогает объяснить, почему запись числа зависит от порядка цифр и зачем в ней нужны нули. Разложение на разрядные слагаемые и сравнение используются при письменных вычислениях с многозначными числами. А деление записи на классы помогает читать числовые данные и величины в задачах, не теряя разряды.

Что запомнить

• В каждом классе числа — не более трёх разрядов.
• Классы считают справа налево: единиц, тысяч и далее.
• Ноль обозначает отсутствие единиц данного разряда и сохраняет место цифр.
• Чем больше цифр в натуральном числе, тем оно больше.
• Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают слева направо.
• Между 999 999 и 1 000 000 в натуральном ряду нет другого числа.