Действия первой ступени и второй ступени (повторение)

Определения и обозначения

Действия первой ступени — сложение и вычитание. Они связаны тем, что вычитание можно рассматривать как действие, обратное сложению: чтобы проверить разность, к ней прибавляют вычитаемое. Объединение этих действий в одну ступень помогает понять, что без скобок их выполняют в порядке записи.

Действия второй ступени — умножение и деление. Умножение связано с повторным сложением одинаковых слагаемых, а деление является обратным действием к умножению. Поэтому эти действия образуют отдельную ступень и имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Порядок выполнения действий — правила, которые показывают, в какой последовательности вычислять выражение. Он нужен, чтобы у одного выражения был один и тот же результат независимо от того, кто его считает. По этим правилам учитывают скобки, ступень действия и направление вычислений.

Скобки — знаки, выделяющие часть выражения. Они указывают, что сначала нужно выполнить действия внутри них, даже если обычно эти действия имели бы меньший приоритет. После вычисления скобок оставшуюся запись считают по общим правилам.

Как это устроено

Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет, поэтому нельзя считать, что сложение всегда выполняется раньше вычитания. Если скобок нет, выражение читают слева направо и по очереди выполняют встречающиеся действия. Например, в записи 48 − 18 + 7 сначала находят разность 48 − 18, а затем прибавляют 7.

Умножение и деление тоже находятся на одной ступени. Выбор между ними определяется не названием действия, а их местом в выражении: первым считают то, которое записано левее. Поэтому в выражении 36 : 6 · 3 сначала выполняют деление, а полученный результат умножают на 3.

Действия второй ступени выполняют раньше действий первой ступени, потому что умножение и деление связывают числа сильнее. Например, запись 5 + 3 · 4 означает, что сначала находят произведение 3 · 4, а затем прибавляют его к 5. Если начать со сложения, получится другая запись и другой результат, поэтому такой порядок заранее закреплён правилами.

Скобки меняют обычную последовательность вычислений. Сначала полностью разбирают выражение в скобках, причём внутри самих скобок также соблюдают приоритет: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. После этого найденное значение подставляют вместо скобок и продолжают вычисления.

Чтобы не пропустить действие, полезно отмечать этапы слева направо. В выражении 72 − (8 + 4) · 5 : 3 сначала получают 12 в скобках, затем выполняют умножение и деление в указанной последовательности, а последним — вычитание. Такая запись показывает не только ответ, но и причину каждого шага.

Порядок выполнения действий в выражениях

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом проверки: сначала найдите скобки, затем определите действия второй и первой ступени. Если несколько действий относятся к одной ступени, двигайтесь слева направо. После каждого шага можно переписывать выражение, заменяя уже вычисленную часть её результатом.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 48 − 18 + 7.

В выражении нет скобок, а сложение и вычитание относятся к одной ступени. Поэтому нельзя сначала выбирать сложение только потому, что оно кажется более простым: нужно идти слева направо.

1. Сначала выполняем первое действие: 48 − 18 = 30.
2. Полученный результат подставляем в выражение: 30 + 7 = 37.

Ответ: 37.

Задача 2. Вычислите 36 : 6 · 3.

Здесь есть только действия второй ступени — деление и умножение. Они равноправны, поэтому первым будет деление, расположенное левее умножения.

1. Выполняем деление: 36 : 6 = 6.
2. Умножаем результат на 3: 6 · 3 = 18.

Ответ: 18.

Задача 3. Вычислите 72 − (8 + 4) · 5 : 3.

В выражении есть скобки и действия обеих ступеней. Сначала разбираем скобки, затем умножение и деление слева направо, а вычитание оставляем последним.

1. Вычисляем скобки: 8 + 4 = 12, поэтому получаем 72 − 12 · 5 : 3.
2. Выполняем умножение: 12 · 5 = 60, получаем 72 − 60 : 3.
3. Выполняем деление: 60 : 3 = 20, затем вычитание: 72 − 20 = 52.

Ответ: 52.

Типичные ошибки

Ошибка — выполнять сложение раньше вычитания или умножение раньше деления только из-за названия действия. Так делают, когда считают действия разными по важности, хотя внутри одной ступени приоритет одинаковый. Проверьте себя: найдите, какое из равноправных действий записано левее.

Ошибка — считать действия одной ступени справа налево. Такой порядок меняет смысл выражения и обычно даёт другой результат. Чтобы проверить решение, двигайтесь по записи слева направо и каждый раз заменяйте только ближайшее выполненное действие.

Ошибка — начинать со сложения или вычитания, когда рядом есть умножение или деление без скобок. Её допускают, если читают выражение как обычную фразу, а не применяют правило приоритета. Перед вычислением подчеркните действия второй ступени и выполните их первыми.

Ошибка — начинать с действия вне скобок. Скобки специально показывают, какую часть нужно вычислить раньше остальных. Проверьте себя: прежде чем считать внешний знак, убедитесь, что внутри всех скобок получено число.

Связь с другими темами

До этой темы нужно уверенно знать таблицу сложения и умножения, а также уметь выполнять арифметические действия устно и письменно. Если вычислительные навыки не отработаны, порядок действий будет понятен, но промежуточные результаты могут оказаться неверными.

Эти правила пригодятся при вычислении числовых выражений и подстановке значений переменных в алгебраические выражения. В алгебре порядок действий остаётся тем же, даже если вместо чисел используются буквы.

Что запомнить

• Сложение и вычитание — действия первой ступени.
• Умножение и деление — действия второй ступени.
• Действия в скобках выполняют раньше действий вне скобок.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Действия одной ступени выполняют слева направо.