"Математика", Чекин А.Л.
Измерение помогает узнать, сколько выбранных единиц содержится в длине, массе, времени или другой величине. Одну и ту же величину можно записать по-разному: например, 1 м — это 100 см. Чтобы вычислять и сравнивать величины, нужно согласовать их единицы, а затем внимательно записать результат. Эти навыки помогают решать задачи из математики и повседневной жизни, находить периметр и площадь и проверять, разумен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Единица измерения — условная величина, выбранная для измерения других величин того же рода. Например, сантиметрами измеряют длину, килограммами — массу, минутами — время. Единицы помогают выражать величины числами и сопоставлять результаты измерений. Для каждой величины выбирают подходящую единицу.
Измерение величины — сравнение величины с выбранной единицей. Чтобы измерить длину, например, нужно узнать, сколько раз выбранная единица укладывается в ней. Результатом становится числовое значение вместе с названием единицы: 5 см, 2 кг или 10 мин. Такая запись сообщает не только число, но и то, что именно измеряли.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в величине. Например, в длине 100 см содержится сто единиц по одному сантиметру. Само число без единицы может быть непонятным: «100» может означать сантиметры, граммы или минуты. Поэтому единицу указывают вместе с числом.
Сравнение величин — установление, какая из двух величин больше, меньше или равна другой. Для корректного сравнения сначала приводят величины к одинаковым или совместимым единицам. Например, 1 м и 90 см удобнее сравнить после записи 1 м как 100 см. Тогда ясно, что 100 см больше 90 см.
Измерение начинается с выбора единицы, подходящей для величины и нужной точности. Затем определяют, сколько таких единиц составляет измеряемый предмет или промежуток времени. Например, длину карандаша удобно измерить линейкой в сантиметрах, массу яблок — взвесить в граммах или килограммах, а длительность урока — выразить в минутах. Если единица слишком крупная или мелкая, результат становится неудобным, поэтому выбор единицы облегчает запись и дальнейшие вычисления.
Одну и ту же величину можно выразить разными числами, потому что размер выбранной единицы меняется. В одном метре содержатся сто сантиметров, поэтому длина 1 м записывается также как 100 см. Сантиметр меньше метра, и для выражения той же длины сантиметрами требуется больше единиц. Равенство 1 м = 100 см показывает, что изменились запись и число, но сама длина осталась прежней.
Чтобы перевести составную запись в одну единицу, сначала заменяют каждую её часть нужным количеством этой единицы, а затем складывают полученные числа. Например, 3 м 25 см — это 300 см и ещё 25 см, всего 325 см. Обратный перевод выполняют делением с остатком: 325 см — это 3 полных метра и 25 см. Основание такого способа — соотношение между единицами: в метре 100 сантиметров, поэтому каждая сотня сантиметров образует ещё один метр.
Складывать и вычитать удобно величины, выраженные в одинаковых единицах. Если единицы разные, одну величину предварительно переводят: например, 2 м 30 см можно представить как 230 см. Тогда числа можно сложить или вычесть, не смешивая несопоставимые записи. После вычисления записывают единицу полученной величины, а при необходимости представляют ответ в более удобном виде.
При сравнении величин, записанных в разных единицах, сначала переводят одну или обе величины в общую единицу. Затем сравнивают числовые значения и записывают вывод со знаками >, < или =. Например, 2 м = 200 см, а 200 см > 150 см, значит, 2 м > 150 см. Такой порядок нужен потому, что числа в исходной записи относятся к единицам разного размера и сами по себе не показывают, какая величина больше.
| Величина | Единицы измерения | Соотношения между единицами | Что проверить при вычислении и сравнении |
|---|---|---|---|
| Длина | мм, см, дм, м, км | 1 см = 10 мм; 1 м = 100 см; 1 км = 1000 м | Переведены ли значения в одну единицу; записан ли результат в единицах длины. |
| Масса | г, кг, ц, т | 1 кг = 1000 г; 1 ц = 100 кг; 1 т = 1000 кг | Согласованы ли единицы массы; не перепутаны ли граммы и килограммы. |
| Время | с, мин, ч, сут. | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин; 1 сут. = 24 ч | Использовано ли нужное соотношение; учтено ли, что переходы здесь не всегда связаны с 10 или 100. |
| Площадь | мм², см², дм², м², км² | 1 см² = 100 мм²; 1 м² = 10 000 см² | Указаны ли квадратные единицы; не смешаны ли площадь и длина. |
| Правило перевода и согласования единиц | Из одной единицы в другую | К более мелкой единице число увеличивается; к более крупной — уменьшается. | Проверить направление перевода и привести величины к общей единице перед действием или сравнением. |
Пользуйтесь таблицей как подсказкой: найдите нужную величину, выберите соотношение между её единицами и выполните перевод. Для сложения, вычитания и сравнения проверьте, что все значения записаны в одной единице. У площади обязательно сохраняйте квадратные единицы.
Выразите 3 м 25 см в сантиметрах и сравните результат с 320 см. Здесь сначала нужно перевести обе величины в сантиметры: одна длина записана составными единицами, другая — уже в сантиметрах. После перевода сравним числа, относящиеся к одинаковым единицам. Это позволяет увидеть, какая длина больше.
Ответ: 3 м 25 см = 325 см; полученная длина больше 320 см на 5 см.
В первой коробке 2 кг 350 г яблок, во второй — 1 кг 800 г. Нужно найти общую массу и определить, в какой коробке масса больше. Для сложения и сравнения удобнее выразить обе массы в граммах: тогда каждая запись будет использовать одну единицу. Затем отдельно выполним сложение и сравнение.
Ответ: в двух коробках 4 кг 150 г яблок; масса больше в первой коробке.
Длина площадки равна 12 м, ширина — 8 м. Периметр показывает общую длину границы, а площадь — размер части поверхности, которую занимает площадка. Поэтому для этих величин нужны разные формулы и разные единицы ответа. Найдём оба результата и сравним только их числовые значения, а не сами величины.
Ответ: периметр равен 40 м, площадь — 96 м²; числовое значение площади больше, но полученные величины имеют разные единицы.
Нельзя сравнивать числа до перевода величин в общую единицу. Например, из чисел 2 и 150 можно ошибочно заключить, что 2 м меньше 150 см, хотя 2 м = 200 см и это больше. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на числах; проверка — записать обе величины в сантиметрах или метрах.
При переводе иногда умножают вместо деления или наоборот. Направление подсказывает размер единицы: переход к более мелким единицам увеличивает числовое значение, а к более крупным — уменьшает. Если после перевода из метров в сантиметры число стало меньше, стоит проверить вычисление. Соотношение единиц помогает проверить, во сколько раз изменяется число.
Складывать или вычитать величины с разными единицами без подготовки нельзя: запись вроде 2 м + 30 см не означает, что нужно сложить 2 и 30. Причина ошибки — забытая разница в размере единиц; переведите всё, например, в сантиметры и только потом считайте. Для проверки убедитесь, что слагаемые и ответ записаны в одной единице.
Ответ без единицы измерения теряет смысл, а запись площади в метрах вместо квадратных метров смешивает разные величины. Это часто случается, когда после вычисления записывают только результат умножения чисел. Проверьте, что единица соответствует вопросу: периметр измеряют единицами длины, площадь — квадратными единицами. Число вместе с единицей должно точно сообщать, что найдено.
Для вычислений с величинами нужны навыки работы с натуральными числами и десятичными дробями: они помогают выполнять действия с числовыми значениями. Также пригодятся соотношения между единицами длины, массы и времени и формулы периметра и площади прямоугольника. Эти знания применяются в текстовых задачах, при вычислении площадей и объёмов и в геометрии. Измерения и переводы единиц нужны и в естественных науках, где важно точно записывать наблюдения и результаты расчётов.
Почему для одной и той же длины можно записать разные числа?
Число показывает, сколько единиц измерения содержится в длине. Чем меньше единица, тем больше таких единиц помещается в той же длине: например, 1 м = 100 см.
Как понять, умножать или делить при переводе единиц?
Посмотрите, в какую единицу переводите величину. При переходе к более мелкой единице число увеличивается, поэтому умножаем; при переходе к более крупной — уменьшается, поэтому делим. Проверяйте, соответствует ли направление изменения чисел этому правилу.
Можно ли складывать метры и сантиметры?
Можно, но сначала нужно привести величины к одинаковым единицам. Например, 2 м 30 см можно записать как 230 см, а затем складывать с сантиметрами.
Почему при вычислении площади ответ записывают в квадратных единицах?
Площадь показывает, сколько квадратов с заданной длиной стороны покрывают фигуру. Если длину и ширину измеряют в метрах, их произведение выражают в квадратных метрах: м².
Как сравнить величины, если они выражены в разных единицах?
Переведите их в одну и ту же единицу, а затем сравните числовые значения. Например, чтобы сравнить 2 м и 150 см, можно записать 2 м = 200 см и увидеть, что 200 см > 150 см.
Измеряем. Вычисляем. Сравниваем (повторение)
