Геометрия на бумаге в клетку (повторение)

Определения и обозначения

Клетка — единичный квадрат, сторона которого служит мерой длины на чертеже. Если сторона клетки принята за 1, отрезок вдоль линий сетки можно измерить подсчётом клеток. Это позволяет сравнивать длины без линейки и удобно отмечать размеры фигур.

Координаты точки — числа, задающие её положение относительно выбранного начала отсчёта по горизонтали и вертикали. Первое число показывает горизонтальное смещение, второе — вертикальное. Пара координат помогает точно указать точку и построить её снова.

Площадь фигуры на клетчатой бумаге — величина, которую можно находить, считая клетки или разбивая фигуру на части. Целая клетка принимается за единицу площади, а части клеток можно объединять. Такой подход полезен, когда граница фигуры не совпадает с линиями сетки.

Диагональ клетки — отрезок, соединяющий противоположные вершины клетки; его длину можно находить по теореме Пифагора. Теорема связывает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с длинами его катетов. Поэтому для диагонального отрезка нужно учитывать оба направления смещения, а не только число клеток по одной линии.

Как это устроено

Сторона клетки задаёт единицу длины, поэтому расстояние вдоль горизонтальной или вертикальной линии сетки измеряют числом промежутков между соседними узлами. Если отрезок проходит через семь таких промежутков, его длина равна семи единицам. Считать именно промежутки важно потому, что узлы — это точки, а длина складывается из отрезков между ними. Так можно измерять стороны прямоугольников и находить периметры фигур.

Точки, расположенные в узлах сетки, удобно задавать парой координат: сетка разбита на равные шаги, и каждое смещение можно сосчитать. Сначала выбирают начало отсчёта, затем определяют, сколько шагов нужно пройти по горизонтали и по вертикали. Чтобы восстановить точку, выполняют те же перемещения от начала отсчёта. Если направление движения противоположно выбранному положительному направлению оси, координата будет отрицательной.

Площадь прямоугольника легко найти по сетке: число клеток в одном ряду умножают на число рядов. Получается то же правило, что и произведение длины на ширину, потому что прямоугольник составлен из одинаковых единичных квадратов. Прямоугольный треугольник можно получить, разделив прямоугольник диагональю пополам, поэтому его площадь равна половине произведения катетов. Для границы, проходящей через клетки, неполные части удобно попарно объединять в целые клетки.

Многоугольник сложной формы часто проще не считать напрямую, а разделить на прямоугольники и треугольники. Сначала проводят вспомогательные отрезки так, чтобы получились простые фигуры без наложений, затем находят площадь каждой части и складывают результаты. Другой способ — обвести многоугольник прямоугольником, найти его площадь и вычесть площади областей снаружи фигуры. Второй приём особенно удобен, когда лишних частей мало и их размеры легко посчитать по сетке.

Для диагонального отрезка горизонтальное и вертикальное смещения образуют катеты прямоугольного треугольника, а сам отрезок становится гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: d² = a² + b², значит d = √(a² + b²). Например, смещения на 3 и 4 клетки дают длину √(9 + 16) = 5 клеток. Такой расчёт нужен, потому что диагональный путь не равен сумме или одному из этих смещений.

Приёмы решения задач на клетчатой бумаге

Сначала определите, что именно требуется найти: длину вдоль сетки, диагональ или площадь. Затем выберите подходящий способ и проверьте, что правильно посчитали клетки и их части. В сложной фигуре полезно заранее отметить границы частей, чтобы ничего не пропустить и не посчитать повторно.

Разбор задач

Задача 1. Найдите длину отрезка, соединяющего две точки, если он проходит вдоль линий сетки через 7 клеток. Отрезок идёт по одной линии сетки, поэтому его не нужно делить на горизонтальное и вертикальное смещения. Каждая клетка задаёт одну единицу длины, а между концами нужно считать именно промежутки. Найдём число таких промежутков и запишем длину в клетках.

1. Проверяем, что отрезок идёт вдоль линии сетки, а не по диагонали.
2. Считаем клетки между концами: их 7.
3. Умножаем число клеток на длину стороны клетки, принятую за 1: 7 × 1 = 7.

Ответ: 7 единиц длины, то есть 7 сторон клетки.

Задача 2. Найдите длину отрезка между двумя узлами сетки, если его горизонтальное смещение равно 3 клеткам, а вертикальное — 4 клеткам. Смещения задают стороны прямоугольного треугольника: одно направлено горизонтально, другое вертикально, значит, они перпендикулярны. Искомый отрезок соединяет начальную и конечную точки и является гипотенузой. Поэтому вместо подсчёта клеток по диагонали используем теорему Пифагора.

1. Обозначаем катеты: a = 3, b = 4.
2. Находим квадрат длины отрезка: d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
3. Извлекаем квадратный корень: d = √25 = 5.

Ответ: 5 единиц длины.

Задача 3. Найдите площадь многоугольника, вершины которого расположены в узлах сетки, разбив его на прямоугольники и треугольники. Сначала нужно провести внутри фигуры отрезки, чтобы получить простые части, размеры которых можно измерить по клеткам. Затем вычислить площади частей по известным правилам и сложить их. Так мы учитываем всю фигуру, не пытаясь считать каждую неполную клетку отдельно.

1. Разбиваем многоугольник на прямоугольники и прямоугольные треугольники без наложений.
2. Для каждого прямоугольника считаем клетки по длине и ширине и перемножаем их.
3. Для каждого треугольника находим катеты и вычисляем площадь по формуле S = ½ab.
4. Складываем площади всех частей; единицей площади считаем одну клетку.

Ответ: площадь равна сумме площадей выделенных частей, выраженной в квадратных единицах. Численное значение зависит от размеров конкретного многоугольника, которые нужно отсчитать на сетке.

Типичные ошибки

Диагональ клетки иногда принимают за одну клетку, потому что её концы тоже являются узлами сетки. Но длина диагонали больше длины стороны: при стороне 1 она равна √2. Проверяйте, идёт ли отрезок вдоль линии сетки; если он пересекает клетку наискосок, применяйте теорему Пифагора.

Можно перепутать число клеток с числом узлов: если на отрезке отмечены восемь узлов, промежутков между ними семь. Ошибка возникает, когда считают точки вместо отрезков между ними. Для проверки мысленно отметьте начало и конец и посчитайте шаги от одного узла к следующему.

При подсчёте площади неполные клетки иногда засчитывают как целые, хотя их доли не заполняют клетку целиком. Так результат получается завышенным или заниженным. Объединяйте подходящие части, например две половины, и проверяйте, что вместе они действительно образуют целую клетку.

Разбивая фигуру или дополняя её до прямоугольника, можно дважды учесть перекрывающиеся области или забыть вычесть лишнюю часть. Обычно это происходит, когда вспомогательные линии не разделяют фигуру на отдельные области. Обозначьте каждую часть и проверьте: при сложении части должны покрыть фигуру ровно один раз, а при вычитании — включать все области снаружи неё.

Связь с другими темами

Для работы с клетчатой бумагой нужно уметь находить длины и площади прямоугольника и треугольника, а также ориентироваться на координатной сетке. Теорема Пифагора помогает вычислять диагональные длины, когда известны горизонтальное и вертикальное смещения. Позже те же приёмы пригодятся в координатном методе, при нахождении площадей многоугольников и построении точных геометрических чертежей. Сетка связывает измерение, вычисления и изображение фигур.

Что запомнить

• Сторона клетки задаёт единицу длины на чертеже.
• Между соседними узлами сетки расположена одна клетка.
• Площадь можно находить подсчётом клеток или разбиением фигуры.
• Площадь сложной фигуры удобно вычислять через площади простых фигур.
• Диагональное смещение образует прямоугольный треугольник.
• Для диагонального отрезка применяют теорему Пифагора.