Как мы научились формулировать и решать задачи (повторение)

Определения и обозначения

Текстовая задача — описание жизненной ситуации с известными данными и вопросом, на который нужно получить ответ. В ней числа связаны с предметами, расстояниями, временем или другими величинами. Это помогает понять, что именно обозначают вычисления.

Условие задачи — сведения о ситуации, величинах и их связях, необходимые для решения. В условии находятся известные данные, но иногда среди описания есть лишние подробности. Выделение условия позволяет отделить нужную информацию от самого вопроса.

Требование задачи — вопрос, определяющий, что именно нужно найти или доказать. Оно может начинаться словами «сколько», «какова длина», «на сколько больше» или «верно ли». Без требования невозможно понять, какой результат считать ответом.

Математическая модель — схема, выражение, уравнение или краткая запись, которые отражают связи между данными и искомым. Модель заменяет длинное описание более наглядной формой. По ней легче выбрать действия и составить план решения.

Как это устроено

Сначала отделяют условие от требования: условие сообщает, что уже известно, а требование указывает искомое. Затем каждой величине стараются дать точное название и записать её значение с единицей измерения. Такой разбор не позволяет случайно принять вопрос задачи за исходное данное.

Действие выбирают не по отдельному слову, а по связи между величинами. Если из общего количества убрали часть, подходит вычитание, а если несколько равных групп объединяют, — умножение. Поэтому перед вычислением полезно проговорить, что означает будущий результат.

Текст переводят в краткую запись, схему, таблицу или выражение, потому что разные формы показывают связи по-разному. Краткая запись удобна для чисел и единиц, схема — для частей и целого, таблица — для повторяющихся величин. Выбранная модель должна сохранять смысл условия, а не просто перечислять числа.

План решения составляют после построения модели. Для каждого шага указывают, какую величину он находит и зачем она нужна дальше: например, сначала определить остаток, затем вычислить общее количество. Такой порядок превращает набор вычислений в последовательное объяснение.

Проверка нужна, потому что даже правильное на вид действие может относиться не к той величине. Сначала проверяют вычисления, затем сравнивают результат с условием и оценивают его разумность. В конце ответ должен прямо отвечать на вопрос задачи и содержать название найденной величины.

Этапы формулирования и решения задачи

Таблица показывает путь от понимания ситуации до полного ответа. Ею можно пользоваться как памяткой: переходить к следующему этапу стоит после проверки предыдущего. Если на каком-то шаге возникает затруднение, нужно вернуться к условию и уточнить связи между величинами.

Разбор задач

1. Составьте задачу по выражению 6 · 4 + 5 и решите её. Выражение подсказывает, что сначала нужно объединить 6 равных групп по 4 предмета, а потом добавить ещё 5 предметов. Например: «В шести коробках лежит по 4 карандаша, а рядом добавили ещё 5 карандашей. Сколько карандашей стало всего?»

1. Найдём карандаши в коробках: 6 · 4 = 24.
2. Прибавим 5 карандашей: 24 + 5 = 29.

Ответ: 29 карандашей. Здесь числа и действия получили смысл благодаря составленной ситуации.

2. В школьной библиотеке было 36 новых книг. 14 книг выдали ученикам, а затем привезли ещё 9 книг. Сколько новых книг стало в библиотеке? Сначала количество уменьшилось, поэтому первым действием находим остаток. Только после этого можно прибавить привезённые книги.

1. После выдачи осталось 36 − 14 = 22 книги.
2. После привоза стало 22 + 9 = 31 книга.

Ответ: в библиотеке стало 31 новая книга. Проверка по смыслу показывает: после выдачи книг стало меньше, а после привоза — больше.

3. В трёх одинаковых коробках 24 карандаша. После того как из одной коробки взяли 3 карандаша, во всех коробках осталось поровну 21 карандаш. Сколько карандашей было в каждой коробке сначала? Будем понимать 21 как общее количество после того, как 3 карандаша взяли. Сначала восстановим первоначальное количество, затем разделим его на три равные коробки.

1. До того как взяли 3 карандаша, было 21 + 3 = 24 карандаша.
2. В каждой коробке сначала было 24 : 3 = 8 карандашей.

Ответ: сначала в каждой коробке было по 8 карандашей. Если же слова «поровну 21» означают по 21 карандашу в каждой коробке, условие противоречит данным о 24 карандашах, поэтому его нужно уточнить.

Типичные ошибки

Ученик считает все числа из текста данными, хотя некоторые могут быть частью пояснения или уже полученным результатом. Такая ошибка возникает, когда читают условие только глазами и сразу ищут действие. Проверьте себя: назовите роль каждого числа и связь его с вопросом.

Действие иногда выбирают по словам «осталось» или «всего», не разбирая величины. Одно и то же слово встречается в задачах с разными связями, поэтому оно не заменяет рассуждение. Спросите себя, что именно изменилось и какой результат должно дать действие.

Бывает, что действия выполняют в удобном, но неверном порядке. Тогда промежуточное число не описывает ни один этап ситуации, хотя вычисления могут быть без ошибок. После каждого шага объясняйте, что найдено и почему это понадобится дальше.

Запись только числа без единицы измерения или без ответа на вопрос делает решение неполным. Такое происходит, когда ученик считает последнюю строку решения достаточной. Перечитайте требование и оформите ответ фразой с найденной величиной и её единицей.

Связь с другими темами

Для решения текстовых задач нужны знания смысла сложения, вычитания, умножения и деления. Также важно уметь читать схемы и таблицы, поскольку они помогают увидеть отношения между величинами. Эти умения составляют основу дальнейшей работы.

Навык используется в задачах на движение, работу, стоимость, доли и разные величины. В каждой такой теме сначала переводят описание ситуации в математическую модель. Затем применяют подходящие формулы, действия или уравнения.

Умение строить модель пригодится при изучении выражений и зависимостей между величинами. Оно помогает решать не только учебные, но и практические задачи. Чем точнее установлена связь между данными, тем надёжнее решение.

Что запомнить

• В задаче нужно различать условие и требование.
• Сначала выясняют, что известно и что требуется найти.
• Текст задачи переводят в краткую запись, схему, таблицу или выражение.
• Каждое действие должно быть связано с условием и иметь понятный смысл.
• Решение выполняют по плану, а не только последовательностью вычислений.
• Полученный результат проверяют по смыслу и по вопросу задачи.
• Ответ формулируют полностью, указывая найденную величину и её единицу.