Взаимное положение прямых на плоскости

Определения и обозначения

Пересекающиеся прямые — это прямые, имеющие одну общую точку. Если прямые a и b встретились в точке O, записывают: a и b пересекаются в точке O. Такое обозначение сразу показывает место пересечения.

Параллельные прямые — это прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся. Их обозначают так: a ∥ b, то есть «прямая a параллельна прямой b». Знак помогает быстро узнать нужное положение прямых на чертеже.

Перпендикулярные прямые — это пересекающиеся прямые, которые образуют четыре прямых угла. Прямой угол равен 90°, поэтому перпендикулярность обозначают знаком a ⟂ b. Такое обозначение уточняет, что пересечение происходит под прямым углом.

Общая точка прямых — точка, которая принадлежит одновременно двум прямым. Она определяет место их пересечения и обычно обозначается заглавной буквой, например O. Если общей точки нет, прямые не пересекаются.

Как это устроено

На плоскости две прямые могут пересечься в одной точке или не иметь общих точек. Две различные прямые не могут пересечься дважды: через две разные точки проходила бы уже одна и та же прямая. Поэтому сначала достаточно проверить, есть ли у линий общая точка.

Одной общей точки недостаточно, чтобы назвать прямые перпендикулярными. После пересечения образуются углы, и их величина показывает особенность положения прямых. Если углы не прямые, прямые просто пересекающиеся, а если все четыре угла равны 90°, они перпендикулярные.

Перпендикулярные прямые являются особым случаем пересекающихся. При их пересечении один прямой угол разделяет плоскость, а противоположный ему угол тоже прямой; соседние углы дополняют их до 180° и также равны 90°. Поэтому достаточно обнаружить один угол 90°, чтобы сделать вывод о перпендикулярности всех четырёх углов.

Параллельные прямые не пересекаются даже при продолжении, потому что сохраняют одно направление и постоянное расстояние между собой. Короткие отрезки на рисунке могут выглядеть параллельными случайно, поэтому рассматривают именно бесконечные прямые. Направление проверяют с помощью линейки и угольника: угольник перемещают вдоль линейки, не меняя положения его стороны.

Взаимное положение прямых на плоскости

Пользуйтесь таблицей в два шага: сначала найдите общие точки, затем проверьте углы. Перпендикулярные прямые входят в группу пересекающихся, но не каждые пересекающиеся прямые являются перпендикулярными.

Разбор задач

Задача 1

Прямые a и b имеют одну общую точку O. Требуется определить их взаимное положение. В условии уже указано главное свойство, поэтому дополнительных построений не нужно.

1. Проверяем количество общих точек: она одна.
2. Сопоставляем это свойство с определением пересекающихся прямых.
3. Называем точку O точкой пересечения и записываем, что прямые a и b пересекаются в O.

Ответ: прямые a и b — пересекающиеся, точка пересечения — O.

Задача 2

При пересечении прямых один из углов равен 90°. Нужно определить вид прямых и найти величины остальных углов. Здесь важно использовать не только факт пересечения, но и величину данного угла.

1. Угол 90° является прямым, значит, данные прямые образуют прямой угол.
2. По определению прямые, пересекающиеся под прямым углом, перпендикулярны.
3. Вертикальный угол равен данному, а соседние углы в сумме дают 180°, поэтому каждый из четырёх углов равен 90°.

Ответ: прямые перпендикулярны; остальные три угла тоже равны 90°.

Задача 3

Через точку A, не лежащую на прямой a, нужно провести прямую b, параллельную a. Для этого надо сохранить направление исходной прямой. Линейка служит опорой, а угольник не даёт новому направлению измениться.

1. Приложите одну сторону угольника к прямой a.
2. Прижмите к другой стороне угольника линейку и удерживайте линейку неподвижно.
3. Передвиньте угольник вдоль линейки так, чтобы нужная сторона прошла через точку A.
4. Проведите по этой стороне прямую b и продолжите её в обе стороны.

Ответ: построена прямая b, проходящая через A и параллельная прямой a: b ∥ a.

Типичные ошибки

Иногда любые пересекающиеся прямые называют перпендикулярными. Ошибка появляется из-за того, что не проверяют величину угла. Проверьте угол угольником: перпендикулярные прямые должны образовать 90°.

На рисунке смотрят только на короткие части линий и считают их параллельными. Но прямые бесконечны, поэтому видимый отрезок не даёт полного ответа. Мысленно продолжите линии и проверьте их направление инструментом.

Знаки a ∥ b и a ⟂ b иногда путают. Причина — невнимательное чтение: ∥ означает параллельность, а ⟂ — перпендикулярность. Полезно связать знак ⟂ с изображением прямого угла.

Близкое расположение линий принимают за общую точку или случайное пересечение рисунка. Общая точка должна принадлежать обеим прямым, а не просто находиться рядом. Проведите линии карандашом до места встречи и убедитесь, что они действительно пересекаются.

Связь с другими темами

Для изучения положения прямых нужны понятия точки, прямой, плоскости, отрезка, угла и прямого угла. Без них нельзя точно определить общую точку или проверить перпендикулярность. Эти знания образуют основу геометрических построений.

Положение прямых используется при построении фигур и изучении свойств треугольников и прямоугольников. Например, стороны прямоугольника пересекаются под прямыми углами, а противоположные стороны параллельны. Поэтому обозначения помогают читать свойства фигуры.

Тема нужна при работе с координатной плоскостью, чертежами и инструментами. По направлению линий можно проверять правильность построения. Линейка и угольник помогают переносить эти правила на бумагу.

Что запомнить

• Пересекающиеся прямые имеют одну общую точку.
• Параллельные прямые не имеют общих точек.
• Перпендикулярные прямые пересекаются под прямым углом.
• При пересечении перпендикулярных прямых образуются четыре угла по 90°.
• Параллельность обозначают знаком ∥.
• Перпендикулярность обозначают знаком ⟂.