Устное сложение и вычитание чисел с переходом через разряд

Определения и обозначения

Разряд — место цифры в записи числа, которое показывает её значение: единицы, десятки или сотни. Например, в числе 47 цифра 4 обозначает 4 десятка, а цифра 7 — 7 единиц. Это нужно учитывать, чтобы не складывать десятки с единицами.

Переход через разряд — действие, при котором единицы объединяются или занимают соседний разряд. Если при сложении получилось 10 единиц, они превращаются в 1 десяток. При вычитании один десяток можно заменить 10 единицами.

Разрядная единица — единица, десяток или сотня, используемые для разложения числа. Например, 56 состоит из 5 десятков и 6 единиц, то есть 50 и 6. Такое разложение помогает выполнять вычисления по частям.

Дополнение до десятка — число, которое нужно прибавить к имеющимся единицам, чтобы получить полный десяток. Например, до 30 число 27 дополняют на 3. Этот приём делает устное сложение короче и удобнее.

Как это устроено

При сложении единиц, дающих 10 или больше, появляется новый десяток, потому что десять единиц имеют то же значение, что один десяток. Например, 8 + 5 = 13: 10 единиц объединяются в десяток, а 3 единицы остаются. Поэтому при сложении 27 и 5 можно получить 30 и прибавить ещё 2.

Чтобы сложить двузначное число и однозначное с переходом через разряд, сначала находят, сколько единиц не хватает до круглого десятка. Затем однозначное число мысленно разделяют на эту часть и остаток. Например, 27 + 8 = 27 + 3 + 5 = 30 + 5 = 35.

При вычитании единиц уменьшаемого может не хватить, потому что из меньшего числа нельзя убрать большее количество единиц. Тогда сначала вычитают столько единиц, чтобы дойти до круглого десятка, а потом убирают остаток. В примере 43 − 7 сначала вычитают 3 и получают 40, затем вычитают ещё 4.

Двузначные числа удобно складывать и вычитать по частям: сначала выполнять действие с десятками, потом с единицами. Так сохраняется значение каждого разряда: 38 + 27 = 38 + 20 + 7. После первого шага получают 58, после второго — 65; при вычитании можно действовать так же, внимательно отслеживая переход через десяток.

Проверка обратным действием показывает, согласуются ли вычисления. Если получена сумма, из неё вычитают одно слагаемое и должны получить другое. Если получена разность, к ней прибавляют вычитаемое; приблизительная оценка тоже полезна: 52 − 28 должно быть примерно 50 − 30, то есть около 20.

Устные приёмы сложения и вычитания с переходом через разряд

В таблице показано, какое разложение выбрать и в каком порядке выполнять действия. Сначала назови ближайший удобный десяток, затем проверь, сколько единиц осталось. Образец записи можно проговаривать вслух, пока порядок действий не станет привычным.

Разбор задач

1. Вычисли устно: 27 + 8.

Единиц в числе 27 — семь, а до следующего десятка, до 30, не хватает трёх. Поэтому число 8 удобно разделить на 3 и 5: первая часть сразу создаёт круглый десяток, а вторая остаётся после перехода. Такой способ не меняет сумму, а только делает вычисление проще.

1. Разложим 8 на 3 и 5.
2. Прибавим 3 к 27: 27 + 3 = 30.
3. Прибавим оставшиеся 5: 30 + 5 = 35.

Ответ: 35.

2. Вычисли устно: 43 − 7.

Из 43 нужно вычесть 7, но сначала удобно попасть в круглый десяток. Для этого из 43 вычитаем 3, а из семи единиц остаётся ещё 4. Затем убираем эти 4 из 40 и получаем результат.

1. Разложим 7 на 3 и 4.
2. Вычтем 3: 43 − 3 = 40.
3. Вычтем оставшиеся 4: 40 − 4 = 36.

Ответ: 36.

3. Вычисли устно: 38 + 27 и 52 − 28.

В первом примере разложим второе число на 20 и 7. Во втором сначала уберём 20, а затем 8; после этого проверим оба результата обратным действием. Разложение сохраняет число, потому что 27 — это 20 и 7, а 28 — это 20 и 8.

1. 38 + 27 = 38 + 20 + 7 = 58 + 7 = 65.
2. 52 − 28 = 52 − 20 − 8 = 32 − 8 = 24.
3. Проверим сложение: 65 − 27 = 38.
4. Проверим вычитание: 24 + 28 = 52.

Ответ: 38 + 27 = 65; 52 − 28 = 24.

Типичные ошибки

Ученик складывает или вычитает цифры разных разрядов без разложения чисел. Так происходит, если забыть, что цифра десятков означает не отдельную единицу, а сразу десять единиц. Запиши числа как десятки и единицы и проверь, совпадает ли значение каждого разряда.

При сложении образовавшийся десяток могут не перенести к десяткам или посчитать дважды. Ошибка появляется, когда ученик видит только оставшиеся единицы и забывает про полный десяток. Пересчитай единицы и выполни обратную проверку вычитанием.

При вычитании ученик не делит число на удобные части для получения круглого десятка. Обычно он пытается сразу убрать все единицы и теряет промежуточный шаг. Назови сначала вычитаемую часть до десятка, затем остаток.

Неверно определив оставшиеся единицы, ученик получает неправильный ответ и не проверяет его. Ошибку допускают, когда не проговаривают разложение числа. Прибавь вычитаемое к разности или вычти слагаемое из суммы: исходное число должно восстановиться.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь читать и записывать двузначные числа, различать единицы и десятки и раскладывать число на разрядные слагаемые. Также необходима таблица сложения и вычитания в пределах 20, особенно состав числа 10. Эти приёмы пригодятся при письменных вычислениях, решении текстовых задач и работе с многозначными числами.

Что запомнить

• При устном вычислении числа удобно разлагать на десятки и единицы.
• Переход через разряд происходит, когда единиц становится 10 или больше либо когда единиц уменьшаемого недостаточно.
• При сложении десять единиц образуют один десяток.
• При вычитании сначала удобно дойти до круглого десятка.
• Порядок действий нужно проговаривать по шагам.
• Результат сложения проверяют вычитанием, а результат вычитания — сложением.