"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать предметы, записывать результаты измерений и выполнять вычисления. Для разных задач одного набора чисел недостаточно: вычитание может дать отрицательный результат, а деление — дробь. Поэтому числа объединяют в множества: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, а рациональные вместе с иррациональными образуют действительные. Разобравшись в этих связях, легче определять вид числа, сравнивать числа и изображать их на координатной прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Их множество обычно обозначают N; в школьном курсе ноль чаще всего не включают в натуральные числа, но соглашение стоит проверить. Натуральные числа удобны, когда нужно указать количество предметов или порядковый номер.
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и ноль; множество обозначают Z. Например, вместе с 4 в него входят −4 и 0. Целые числа расширяют набор чисел, потому что позволяют записать разность, которая получается меньше нуля: 3 − 5 = −2.
Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0; множество обозначают Q. Например, 2/3, −5/1 и 0 относятся к рациональным числам. Это определение позволяет объединить целые числа и дроби, нужные, когда деление не выполняется нацело.
Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби двух целых чисел с ненулевым знаменателем. К ним относятся √2 и π: их десятичная запись бесконечна и не повторяется периодом. Они отличаются от рациональных тем, что никакая такая обыкновенная дробь не задаёт их точное значение.
Числовые множества расширяют по мере того, как возникают новые задачи. Натуральных чисел хватает для счёта, но в вычитании 3 − 5 результат меньше нуля, и натурального числа для его записи нет. Целые числа решают эту проблему: к каждому положительному числу добавляется противоположное, а также используется ноль. Поэтому любое натуральное число является целым.
Даже целых чисел недостаточно для деления: например, 1 : 2 не даёт целого результата. Дробь 1/2 позволяет записать половину и показывает, что число можно получить делением целого числителя на целый ненулевой знаменатель. Так появляются рациональные числа, включающие все целые: любое целое a можно записать как a/1. Следовательно, N входит в Z, а Z входит в Q.
Рациональное число может быть записано не только обыкновенной дробью, но и десятичной. Если деление заканчивается, получается конечная запись, например 3/8 = 0,375; если цифры повторяются, запись периодическая, например 1/3 = 0,333… . Обратно, конечную или периодическую десятичную дробь можно представить обыкновенной дробью. Поэтому сама по себе десятичная форма ещё не говорит, что число иррационально.
Некоторые числа нельзя точно записать дробью из целых чисел. Их десятичная запись бесконечна и непериодична: у неё нет повторяющегося блока цифр, который продолжался бы без конца. Например, √2 ≈ 1,4142… и π ≈ 3,14159… — иррациональные числа. Приближённые десятичные значения помогают вычислять с ними, но не становятся их точной записью.
Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными; множество действительных чисел обозначают R. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует одна точка, а каждой точке — одно действительное число. Рациональное число можно показать точным делением единичного отрезка, а иррациональное — расположить по его значению или построить геометрически. Так прямая объединяет числа обоих видов в единую числовую шкалу.
| Множество | Какие числа входят | Примеры | Связь с другими множествами |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Числа для счёта предметов | 1, 2, 7 | Входят в целые |
| Целые числа | Натуральные, противоположные им числа и ноль | −4, 0, 7 | Входят в рациональные |
| Рациональные числа | Числа, представимые дробью m/n, где n ≠ 0 | 2/3, −4, 0,375 | Входят в действительные; содержат целые |
| Иррациональные числа | Числа, не представимые дробью двух целых | √2, π | Входят в действительные, но не в рациональные |
| Действительные числа | Рациональные и иррациональные числа | −3, 1/2, √5 | Объединяют рациональные и иррациональные |
Чтобы определить множество, сначала проверь, можно ли представить число дробью из целых чисел, а затем уточни, является ли оно целым или натуральным. Помни, что множества вложены: натуральное число одновременно целое, рациональное и действительное. Иррациональное число относится к действительным, но не к рациональным.
Нужно отнести каждое число ко всем подходящим множествам, а не выбрать только одно. Сначала проверим, является ли оно натуральным или целым, затем — рациональным или иррациональным. Все перечисленные числа действительные, поэтому это множество можно указать для каждого.
Ответ: 0 — целое, рациональное, действительное; −4 — целое, рациональное, действительное; 7 — натуральное, целое, рациональное, действительное; 2/3 — рациональное, действительное; √5 — иррациональное, действительное. Здесь число может входить сразу в несколько вложенных множеств. Ноль не отнесён к натуральным согласно выбранному соглашению.
Конечная десятичная дробь состоит из трёх знаков после запятой, значит, её можно записать со знаменателем 1000. Полученную дробь нужно сократить, чтобы увидеть её точный обыкновенный вид. После этого проверим, является ли число целым или натуральным.
Ответ: 0,375 = 3/8; это рациональное и действительное число, но не целое и не натуральное. Проверка: 3 : 8 = 0,375, поэтому исходная десятичная запись восстановилась. Сокращение дроби не меняет её значения.
Сравнить корни с целыми удобно по приближённым значениям: √2 ≈ 1,414, поэтому он больше 1. Тогда −√2 ≈ −1,414, то есть он меньше −1. Между отрицательным и положительным числами располагается ноль.
Ответ: −√2 < −1 < 0 < 1 < √2. На координатной прямой сначала отметь −1, 0 и 1, а затем поставь −√2 левее −1 и √2 правее 1. Приближение помогает выбрать места точек, но обозначай их точными значениями, а не округлёнными числами.
Ноль иногда автоматически записывают в натуральные числа, потому что он целый и участвует в счёте. Однако соглашения о натуральных числах различаются: в данном школьном подходе счёт начинается с 1. Проверь определение в условии или учебнике и придерживайся его во всей задаче. Если ноль назван натуральным без проверки соглашения, классификация может оказаться неверной.
Бесконечную десятичную запись порой считают признаком иррациональности. Но у периодической дроби цифры повторяются, и такое число рационально: например, 0,777… = 7/9. Ошибка возникает, когда не различают бесконечность записи и наличие периода. Проверка простая: ищи повторяющийся блок цифр или выясни, можно ли представить число обыкновенной дробью.
Отрицательный знак не означает, что число перестаёт быть рациональным. Например, −4 не является натуральным, зато −4 = −4/1, поэтому оно целое и рациональное. Иногда путают свойства знака и принадлежность множеству. Для проверки отдельно спроси себя, целое ли число и можно ли записать его дробью с ненулевым знаменателем.
Десятичную дробь не следует объявлять иррациональной только из-за запятой. Конечная запись 0,375 равна 3/8, а периодическая 0,333… равна 1/3; обе рациональны. Путаница возникает, если десятичный вид принимают за отдельный тип чисел. Сократи конечную дробь или проверь периодичность бесконечной записи, прежде чем делать вывод.
Для изучения числовых множеств понадобятся знания об обыкновенных и десятичных дробях, отрицательных числах и координатной прямой. Классификация чисел помогает при сравнении чисел и действиях с дробями: она подсказывает, какой вид может иметь результат. Те же представления используются при изучении уравнений, где неизвестное может принимать значения из разных множеств. Позже понятие действительных чисел пригодится при работе с корнями, приближёнными вычислениями и графиками функций.
Всегда ли ноль относится к натуральным числам?
Нет, это зависит от принятого соглашения. Во многих школьных курсах натуральные числа — это числа для счёта предметов, начиная с 1, и ноль в них не включают. Проверяй, как множество натуральных чисел обозначено в учебнике или условии.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно записать дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Иррациональное число такой дробью представить нельзя. Например, 3/4 рационально, а √2 иррационально.
Почему периодическая десятичная дробь является рациональным числом?
Периодическую десятичную дробь можно записать как обыкновенную дробь с целыми числителем и знаменателем. Например, 0,333… = 1/3. Значит, такая запись соответствует определению рационального числа.
Может ли отрицательное число быть рациональным?
Да. Например, −4 = −4/1, поэтому это рациональное число. Рациональными бывают и отрицательные дроби, например −2/3.
Как изобразить иррациональное число на координатной прямой?
Найди его приближённое значение и отметь точку в соответствующем месте. Например, √2 ≈ 1,414, поэтому точка √2 расположена между 1 и 2, ближе к 1. Точное положение задаётся самим числом, а приближение помогает построить его на рисунке.
Числа
