"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа нужны, чтобы считать, измерять и описывать изменения величин. По мере появления новых задач расширялось и понятие числа: натуральных оказалось недостаточно, поэтому возникли целые, затем рациональные и действительные числа. Каждое множество включает некоторые предыдущие, а действительные числа объединяют рациональные и иррациональные. Различать множества полезно при вычислениях, решении уравнений и работе с корнями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Их множество обозначают N; в принятом здесь обозначении ноль в него не входит. Это множество удобно, когда нужно пересчитать предметы или указать их количество без дробной части.
Целые числа — натуральные числа, противоположные им числа и ноль. Множество целых обозначают Z: в него входят, например, −3, 0 и 3. Оно позволяет записывать не только количество, но и величину со знаком, например температуру ниже нуля.
Рациональные числа — числа, которые можно представить дробью с целым числителем и натуральным знаменателем. Их множество обозначают Q; например, −2 = −2/1 и 3/5 — рациональные числа. Такое определение объединяет целые числа, обыкновенные дроби и многие десятичные записи.
Иррациональные числа — действительные числа, которые нельзя представить отношением целого числителя и натурального знаменателя. Вместе с рациональными они образуют множество действительных чисел R. Это определение помогает описывать числа, для которых дробной записи указанного вида не существует.
Сначала для счёта хватало натуральных чисел, но они не описывали все результаты действий. Например, при вычитании 3 из 2 получается −1, которого нет среди натуральных. Чтобы такие результаты можно было записывать, к натуральным добавили противоположные числа и ноль, получив целые числа. Поэтому множество чисел расширяется не случайно: новое множество отвечает на вопросы, на которые прежнее не могло дать числовой ответ.
Целых чисел тоже недостаточно для измерений и деления. Если одну пиццу разделить поровну между двумя людьми, доля каждого равна 1/2, а это не целое число. Рациональные числа включают дроби и тем самым позволяют выражать части целого, а также результаты деления целых чисел, когда деление выполняется без остатка в смысле дробного результата.
Обыкновенная дробь уже имеет вид отношения целых чисел. Конечную десятичную дробь тоже можно записать обыкновенной: например, 0,25 = 25/100 = 1/4. Периодическая запись означает, что после некоторого места повторяется одна и та же группа цифр; такие числа также можно представить дробью. Значит, конечные и периодические десятичные записи относятся к рациональным числам.
Некоторые числа нельзя выразить отношением целых чисел. Их десятичная запись не заканчивается и не повторяется периодически: например, √2 = 1,4142… и π = 3,1415… . Такие числа называют иррациональными. Рациональные и иррациональные числа вместе составляют действительные числа, то есть все числа, которые можно отметить точкой на числовой прямой.
Множества вложены друг в друга: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, а иррациональные числа тоже входят в R, но не входят в Q. Это не отдельные непересекающиеся «коробки»: одно число может удовлетворять нескольким определениям сразу. Например, 5 — натуральное, целое, рациональное и действительное число, потому что 5 = 5/1.
| Множество | Какие числа входят | Пример | Как распознать |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Числа для счёта от 1 | 7 | Целое положительное число |
| Целые числа | Натуральные, противоположные им и ноль | −4 | Нет дробной части |
| Рациональные числа | Числа вида m/n, где m — целое, n — натуральное | 3/5 | Десятичная запись конечна или периодична |
| Иррациональные числа | Действительные числа, не представимые такой дробью | √2 | Запись бесконечна и непериодична |
| Действительные числа | Все рациональные и иррациональные числа | π | Им соответствует точка на числовой прямой |
Пользуйся таблицей как последовательной проверкой: сначала выясни, целое ли число, затем проверь, можно ли записать его дробью. Если десятичная запись конечная или периодическая, число рационально; если бесконечная и непериодическая — иррационально. Помни о вложенности: принадлежность узкому множеству автоматически означает принадлежность более широкому.
Задача 1. Распределите числа 0, 7, −4 и 3/5 по подходящим множествам. Проверяем не только самое узкое множество для каждого числа, но и более широкие множества, в которые оно входит. Натуральные числа здесь начинаются с 1, а каждое целое число является рациональным.
Ответ: 0 ∈ Z, Q, R; 7 ∈ N, Z, Q, R; −4 ∈ Z, Q, R; 3/5 ∈ Q, R.
Задача 2. Запишите 0,25 и 0,(6) в виде обыкновенных дробей и определите, рациональны ли они. Конечную запись переводим в дробь, учитывая количество цифр после запятой; периодическую запись сначала связываем с повторяющейся цифрой.
Ответ: 0,25 = 1/4 и 0,(6) = 2/3; оба числа рациональны, потому что представлены обыкновенными дробями.
Задача 3. Определите, какие числа рациональны, а какие иррациональны: √9, √5, −2, π. Не делаем вывод только по виду записи: сначала упрощаем корни, а затем проверяем, можно ли представить результат дробью.
Ответ: рациональные числа — √9 и −2; иррациональные — √5 и π.
Ошибка — считать любое число с десятичной записью иррациональным. Так могут решить, потому что запись с запятой кажется бесконечной или «необычной», но 0,25 — конечная десятичная дробь, а 0,(6) — периодическая. Проверь, заканчиваются ли цифры или повторяется ли период: в обоих случаях число рационально.
Ошибка — относить отрицательные целые числа к натуральным. Отрицательное число может быть целым, но натуральные числа для счёта в принятом обозначении положительны. Например, −4 ∈ Z, но −4 ∉ N. Сверяй число с определением множества, а не только с тем, что у него нет дробной части.
Ошибка — считать √9 иррациональным лишь из-за знака корня. Подкоренная запись сама по себе не определяет вид числа: √9 = 3, а 3 = 3/1. Сначала вычисли корень, если подкоренное число — полный квадрат, и только потом классифицируй результат.
Ошибка — думать, что множества чисел не пересекаются. Это заблуждение возникает, если воспринимать названия как разные категории одного уровня, хотя множества вложены друг в друга. Например, 7 одновременно натуральное, целое, рациональное и действительное. Проверяй, не подходит ли число сразу под несколько определений.
Для классификации чисел пригодятся знания об обыкновенных и десятичных дробях: без них трудно распознать рациональную запись. Координатная прямая помогает представить отрицательные числа, ноль и положительные числа как точки на одной линии; действия с отрицательными числами нужны для понимания множества целых. Эта классификация понадобится при сравнении чисел и решении уравнений: допустимые решения зависят от того, к какому множеству они относятся. Она также помогает различать точные значения корней и их десятичные приближения.
Входит ли ноль в множество натуральных чисел?
В принятом здесь обозначении натуральные числа — это числа для счёта 1, 2, 3 и так далее, поэтому ноль в них не входит. Ноль относится к целым и рациональным числам.
Почему целое число можно считать рациональным?
Любое целое число можно записать дробью со знаменателем 1: например, −4 = −4/1. Такая запись соответствует определению рационального числа.
Как понять по десятичной записи, рационально ли число?
Если запись конечная или бесконечная периодическая, число рациональное. Бесконечная непериодическая запись соответствует иррациональному числу.
Почему √2 — иррациональное число?
√2 нельзя представить отношением двух целых чисел с ненулевым знаменателем. Его десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода.
Может ли число одновременно принадлежать нескольким множествам?
Да. Например, 7 — натуральное, целое, рациональное и действительное число. Множества вложены друг в друга, поэтому принадлежность меньшему множеству означает принадлежность и более широким.
Числа
