Числа

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. С их помощью можно ответить, сколько книг лежит на столе или сколько учеников в классе. В школьной математике обычно натуральные числа начинают с единицы, но уточняй определение в своём учебнике.

Целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные числа: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Отрицательные числа нужны, например, чтобы записать температуру ниже нуля. Ноль показывает отсутствие счёта или служит границей между положительными и отрицательными числами.

Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 2/5 и −7/3 рациональны, а целое число 4 тоже рационально, потому что 4 = 4/1. Это определение позволяет объединить целые числа и дроби в один набор.

Координатная прямая — прямая, на которой выбраны начало отсчёта и единичный отрезок, задающий масштаб. Числа изображают точками: нулю соответствует начало отсчёта, положительные числа отмечают справа, отрицательные — слева. Такая прямая помогает наглядно сравнивать числа и находить их порядок.

Как это устроено

Натуральных чисел хватает, чтобы пересчитать предметы, но при вычитании меньшего числа из большего можно получить результат, которого среди них нет: например, 3 − 5 = −2. Чтобы такие действия имели результат, к натуральным числам добавили ноль и отрицательные числа, получив целые. Ноль также нужен, чтобы обозначать отсутствие величины и отделять положительные значения от отрицательных. Поэтому целые числа удобны для описания, например, температуры относительно нуля.

Даже целых чисел недостаточно для измерений и деления. Если разделить одну пиццу поровну между двумя людьми, каждому достанется 1/2 пиццы, а длина отрезка может составлять 3/4 метра. Такие результаты не являются целыми числами, поэтому используют дроби. Рациональные числа объединяют дробные и целые результаты, позволяя записывать части величин и частные от деления.

Наборы чисел расширяются один за другим: к натуральным добавляются ноль и отрицательные числа, а затем дробные. Поэтому каждое натуральное число является целым, а каждое целое можно представить рациональной дробью, например −3 = −3/1. Значит, натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные. Принадлежность более широкому набору не отменяет принадлежности предыдущему: число 5 одновременно натуральное, целое и рациональное.

Координатная прямая помогает сравнить числа без вычислений: из двух чисел больше то, которое расположено правее. Это правило работает и для дробей, и для отрицательных чисел, потому что направление возрастания на прямой всегда одно — слева направо. Например, −1 находится правее −3, поэтому −1 больше −3. Чтобы отметить дроби, раздели единичный отрезок на нужное число равных частей.

Одно рациональное число можно записать по-разному: обыкновенной дробью, десятичной дробью или целым числом. Например, 0,75 = 75/100 = 3/4, а 6/3 = 2. Равные записи получаются при сокращении дроби, умножении её числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число или переводе в десятичную форму. Поэтому при сравнении записей сначала полезно привести их к удобному виду: разные символы могут обозначать одну и ту же точку на прямой.

Основные множества чисел и их представление

Пользуйся таблицей, чтобы проверить, подходит ли число под определение нужного множества. Для рациональности попробуй представить число дробью с целыми числителем и ненулевым знаменателем. Помни, что одно число может принадлежать сразу нескольким множествам.

Разбор задач

Задача 1. Распредели числа 4, 0, −3, 2/5 по множествам натуральных, целых и рациональных чисел. Начни с определения каждого множества, а затем проверь число по очереди. Принято считать, что ноль не входит в натуральные числа, если учебник не оговаривает другое.

1. Число 4 натуральное, а значит, также целое и рациональное: 4 = 4/1.
2. Число 0 не натуральное при принятом здесь соглашении, но целое и рациональное: 0 = 0/1.
3. Число −3 не натуральное, зато целое и рациональное: −3 = −3/1.
4. Число 2/5 не натуральное и не целое, но рациональное по определению.

Ответ: натуральное — 4; целые — 4, 0, −3; рациональные — 4, 0, −3, 2/5. Если в учебнике ноль включён в натуральные числа, добавь его и в первую группу.

Задача 2. Запиши 0,75 обыкновенной дробью и определи, какие из записей 3/4, 6/8 и 0,75 обозначают одно число. Перевод десятичной дроби начинай с разрядов после запятой: в числе 0,75 их два, значит, знаменатель будет 100. Затем проверь, можно ли сократить полученную дробь.

1. Записываем 0,75 как 75/100.
2. Делим числитель и знаменатель на 25: 75/100 = 3/4.
3. Сравниваем с 6/8: сокращаем числитель и знаменатель на 2, получаем 3/4.
4. Все три записи равны 3/4, поэтому обозначают одно число.

Ответ: 0,75 = 3/4; записи 3/4, 6/8 и 0,75 обозначают одно и то же рациональное число.

Задача 3. Отметь на координатной прямой числа −1,5, 0, 2/3 и 1, затем расположи их по возрастанию. Для удобства возьми единичный отрезок и раздели его на шесть равных частей: так можно точно отметить и половину, и две трети. Отрицательное число расположи слева от нуля, а положительные — справа.

1. Отметь 0 и единичный отрезок, задав масштаб прямой.
2. Число −1,5 поставь на полтора единичных отрезка левее нуля.
3. Число 2/3 поставь между 0 и 1, на четыре из шести равных частей от нуля.
4. Число 1 отметь на конце единичного отрезка; прочитай значения слева направо.

Ответ: −1,5 < 0 < 2/3 < 1. Порядок подтверждается расположением точек: при движении слева направо числа возрастают.

Типичные ошибки

Можно решить, что ноль всегда натуральное число, потому что он участвует в счёте и записях. Но определения в учебниках различаются: часто натуральные числа начинаются с единицы. Проверь, какое соглашение принято в теме, и используй его последовательно.

Иногда целые числа путают с натуральными и исключают из целых ноль или отрицательные числа. Причина ошибки — привычка связывать слово «число» только со счётом предметов. Проверь запись ряда целых: …, −2, −1, 0, 1, 2, …; натуральные составляют только его положительную часть при обычном школьном определении.

Дробь не обязательно меньше единицы: например, 5/4 больше единицы, потому что 5/4 = 1,25. Ошибка возникает, когда дробь воспринимают только как часть одного предмета. Сравни числитель со знаменателем или выдели целую часть: если числитель больше знаменателя, дробь может быть больше единицы.

При сравнении отрицательных чисел нельзя считать большим то, у которого больше модуль. Например, модуль числа −5 больше модуля −2, но −5 расположено левее и меньше −2. Чтобы проверить себя, отметь числа на координатной прямой или вспомни: из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.

Связь с другими темами

Для работы с рациональными числами пригодятся знания об обыкновенных и десятичных дробях: нужно уметь читать их, сравнивать и переводить одну запись в другую. Деление с остатком помогает понимать, когда результат деления нельзя записать натуральным числом. Также понадобятся порядок действий и навыки вычислений с числами, чтобы правильно выполнять преобразования.

Множества чисел встречаются при решении уравнений и неравенств: важно определить, какие значения могут быть ответами. Координатная прямая помогает сравнивать числа и показывать решения неравенств. Эти знания станут основой для дальнейшего изучения координат и способов описывать числовые значения.

Что запомнить

• Натуральные числа используют для счёта.
• Целые числа включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа.
• Рациональное число можно представить дробью с целыми числителем и ненулевым знаменателем.
• Натуральные числа входят в множество целых, а целые — в множество рациональных.
• Разные записи могут обозначать одно и то же рациональное число.
• На координатной прямой большее число расположено правее.