Куб. Грани куба

Определения и обозначения

Куб — многогранник, все грани которого являются равными квадратами. Многогранник — объёмная фигура, поверхность которой состоит из многоугольников. Это определение помогает отличить куб от плоского квадрата и увидеть, что у него есть и внутренний объём, и поверхность.

Грань куба — квадрат, ограничивающий куб; всего у куба шесть граней. Грань можно представить как одну из плоских сторон поверхности фигуры. Это понятие нужно, чтобы описывать, из каких частей состоит поверхность куба.

Ребро куба — отрезок, по которому пересекаются две грани; у куба двенадцать рёбер. Иначе говоря, ребро — общая сторона двух квадратов. По рёбрам можно понять, как соединены грани, и определить границы каждой из них.

Вершина куба — точка, в которой сходятся три ребра; у куба восемь вершин. Вершины — это угловые точки объёмной фигуры, а не плоские углы одной грани. Они нужны, чтобы обозначать куб буквами и описывать, какие рёбра выходят из выбранной точки.

Как это устроено

Куб можно представить как квадрат, к которому присоединены ещё пять таких же квадратов. Один квадрат становится основанием, а остальные располагаются вокруг него и затем закрывают фигуру сверху. Грани соединяются не отдельными точками, а целыми сторонами — рёбрами, поэтому между квадратами не остаётся промежутков. Когда края соединённых квадратов образуют замкнутую поверхность, получается куб.

Все рёбра куба равны, потому что каждое из них является стороной квадратной грани. Стороны одного квадрата имеют одинаковую длину, а грани куба — равные квадраты. Значит, стороны всех этих граней также равны между собой. Поэтому длину любого ребра куба можно использовать как длину всех остальных.

Устройство куба удобно описывать через грани, рёбра и вершины: грани образуют поверхность, рёбра соединяют грани, а вершины отмечают места встречи рёбер. В каждой вершине сходятся ровно три ребра, потому что там встречаются три направления, в которых от неё продолжаются стороны куба. Если бы из вершины выходили четыре ребра, форма угла перестала бы соответствовать углу куба. Такое описание позволяет проверять модель и разбираться в обозначениях на чертеже.

На плоском рисунке обычно видны только три грани, потому что наблюдатель смотрит на куб с одной стороны. Ближние поверхности не дают увидеть грани, расположенные сзади и снизу. Однако число граней определяется самим объёмным телом, а не тем, сколько сторон удалось показать на листе. Поэтому при подсчёте нужно мысленно повернуть куб или представить его целиком.

Две грани, у которых нет общего ребра и которые находятся друг напротив друга, параллельны. Если мысленно продолжить их плоскости, они не пересекутся: между ними расположены другие грани куба. Соседние грани, напротив, имеют общее ребро; их плоскости встречаются под прямым углом. Это следует из того, что соседние стороны квадратной грани перпендикулярны.

Элементы куба

Пользуйся таблицей, чтобы сверить количество элементов и их свойства. Если на рисунке видны не все грани или рёбра, вспомни, что таблица описывает целый куб, а не только его видимую часть. При подсчёте рёбер следи, чтобы общая сторона двух граней не попала в список дважды.

Разбор задач

Задача 1. Сколько граней, рёбер и вершин у куба? Нужно назвать каждый вид элементов, а не считать только то, что видно на рисунке. Вспомним их количества и проверим, что они относятся ко всему кубу.

1. Сначала считаем квадратные стороны поверхности: у куба шесть граней.

2. Затем вспоминаем, что границы квадратов соединяются в двенадцати рёбрах. Каждое ребро общее для двух граней, но в числе двенадцать оно уже учтено один раз.

3. Наконец, у куба восемь угловых точек, то есть вершин. Это полный набор элементов объёмной фигуры.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 2. У куба подписаны вершины A, B, C, D, E, F, G, H. Перечислите рёбра, выходящие из вершины A. Названия соседних вершин зависят от того, как куб обозначен на чертеже, поэтому сначала нужно посмотреть на расположение букв. В стандартной разметке A соединена с B, D и E.

1. Находим точку A на модели или чертеже и рассматриваем только отрезки, которые непосредственно к ней примыкают.

2. В вершине куба сходятся ровно три ребра, поэтому у A должно быть три соседние вершины. При стандартной разметке это B, D и E.

3. Записываем отрезки с буквой A: AB, AD и AE. Если на конкретном чертеже буквы поставлены иначе, названия нужно взять по нему, но рёбер всё равно будет три.

Ответ: при стандартной разметке — AB, AD и AE.

Задача 3. Рёбра куба обозначены буквами. Определите пары противоположных граней и объясните, почему они параллельны. Без схемы с буквенными обозначениями нельзя назвать конкретные пары, поэтому найдём их по расположению граней. Важно не принять соседние грани за противоположные.

1. Для каждой грани прослеживаем её четыре ребра и устанавливаем, какой квадрат они ограничивают. Так мы получаем полный перечень граней.

2. У каждой грани ищем квадрат на другой стороне куба, который не имеет с ней общего ребра. Эти две грани расположены напротив друг друга; таких пар у куба три.

3. Проверяем, что выбранные грани не соприкасаются, в отличие от соседних. Противоположные грани лежат в параллельных плоскостях, поэтому их и называют параллельными.

Ответ: противоположные грани — три пары граней без общего ребра; каждая пара параллельна.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что у куба три грани, потому что на рисунке обычно показаны три. Это происходит, когда изображение принимают за весь предмет и забывают о закрытых поверхностях. Проверь себя: представь куб сзади и снизу — там находятся ещё три грани, а всего их шесть.

Ошибка: путать ребро с гранью. Ребро — отрезок, а грань — квадратная часть поверхности; их путают, если не различать линию границы и область внутри неё. Проверь себя: если объект имеет площадь, это грань, а если его можно обвести одной линией-отрезком, это ребро.

Ошибка: считать, что в вершине сходятся четыре ребра. На рисунке линии с разных сторон могут выглядеть запутанно, поэтому легко неверно определить, какие из них примыкают к одной точке. Проверь себя, рассматривая только отрезки, которые непосредственно выходят из вершины: их ровно три.

Ошибка: учитывать одно и то же ребро дважды, перечисляя рёбра по граням. Так происходит потому, что каждое ребро принадлежит сразу двум граням. Проверь себя: после составления списка убери повторяющиеся пары вершин и сравни результат с общим числом рёбер куба — двенадцатью.

Связь с другими темами

Для изучения куба нужно знать квадрат, его стороны и прямые углы, а также понимать, что такое отрезок и вершина многоугольника. Эти понятия помогают распознавать грани и рёбра и объяснять, как устроены углы куба. Представление о гранях, рёбрах и вершинах пригодится при изучении развёрток, площади поверхности и объёма куба. Те же элементы встречаются у других многогранников, поэтому навык описывать их устройство можно применять дальше.

Что запомнить

• У куба шесть равных квадратных граней.
• У куба двенадцать рёбер.
• У куба восемь вершин.
• Все рёбра куба равны.
• В каждой вершине куба сходятся три ребра.
• Соседние грани куба перпендикулярны, а противоположные грани параллельны.