"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа образуют несколько связанных множеств: натуральные используют при счёте, целые добавляют к ним нуль и отрицательные числа, а рациональные позволяют записывать части целого. Есть и числа, которые нельзя представить обыкновенной дробью, например √2. Их называют иррациональными. Рациональные и иррациональные вместе составляют действительные числа. Различение этих множеств помогает выбирать удобную запись числа, сравнивать значения и разбираться с корнями и дробями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В этом разборе натуральный ряд начинается с единицы, а множество обозначается ℕ. Оно нужно, когда мы считаем предметы или указываем их порядковые номера.
Целые числа — это натуральные числа, нуль и числа, противоположные натуральным: например, −3 противоположно 3. Их множество обозначают ℤ, а ряд на числовой прямой выглядит так: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Целые числа позволяют записывать значения по обе стороны от нуля.
Рациональные числа — числа, которые можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0; множество обозначают ℚ. Например, −3 = −3/1, а 2/5 уже записано в виде такой дроби. В десятичной записи рациональное число оканчивается или бесконечно повторяет одну и ту же группу цифр.
Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целыми m и n и ненулевым n. Его бесконечная десятичная запись непериодична; пример — √2. Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными и обозначают ℝ: это все числа, которые можно расположить на числовой прямой.
Счёта предметов хватает для многих задач, но не для всех: нельзя указать натуральным числом температуру ниже нуля или долг. Поэтому к натуральным числам добавили нуль и отрицательные числа, получив целые. На прямой нуль служит точкой отсчёта: положительные числа располагаются справа, отрицательные — слева. Такое расширение помогает описывать направление и изменение величин, например подъём и спуск относительно нулевого уровня.
Чтобы записывать не только целое количество, но и части, нужны дроби. Любую целую часть можно записать дробью со знаменателем 1, например −4 = −4/1, а обычная дробь вроде 3/8 показывает часть целого. Поэтому целые числа входят в рациональные. При переводе дроби в десятичную запись деление либо заканчивается, либо остатки начинают повторяться, и тогда повторяется последовательность цифр.
Конечная десятичная дробь тоже рациональна: например, 0,75 = 75/100 = 3/4. Если десятичная запись бесконечна, но повторяет блок цифр, она также задаёт рациональное число: 0,(3) = 1/3. Период — это повторяющаяся группа цифр; скобки в записи 0,(3) показывают, что цифра 3 повторяется бесконечно. Так определение через дробь связывается с привычной десятичной записью.
Однако не каждое число можно представить отношением целых чисел. Например, диагональ квадрата со стороной 1 равна √2, и это число нельзя точно записать обыкновенной дробью. Его десятичная запись бесконечна и не имеет периода. Именно поэтому для описания точных длин и других величин нужны иррациональные числа, а не только дроби.
Рациональные числа и иррациональные числа не совпадают, но вместе заполняют числовую прямую: каждое её числовое значение относится к одному из этих двух видов. Их совокупность называют действительными числами. Множества вложены друг в друга: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Это означает, например, что натуральное число одновременно является целым, рациональным и действительным, а иррациональные числа входят в ℝ, но не входят в ℚ.
| Множество чисел | Обозначение | Какие числа входят | Пример | Связь с другими множествами |
|---|---|---|---|---|
| Натуральные числа | ℕ | Числа для счёта: 1, 2, 3, … | 4 | Входят в целые |
| Целые числа | ℤ | Натуральные, нуль и отрицательные натуральные | −7 | Входят в рациональные |
| Рациональные числа | ℚ | Числа вида m/n, где m, n ∈ ℤ и n ≠ 0 | 3/5 | Входят в действительные |
| Иррациональные числа | ℝ \ ℚ | Действительные числа, которые нельзя записать дробью m/n | √2 | Входят в действительные, но не в рациональные |
| Действительные числа | ℝ | Все рациональные и иррациональные числа | −2,5 | Содержат рациональные и иррациональные числа |
| Расположение множеств по принципу включения | ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ | Каждое следующее множество включает предыдущее; иррациональные дополняют ℚ до ℝ | 4 ∈ ℕ, ℤ, ℚ, ℝ | Иррациональные числа также входят в ℝ |
При классификации сначала найди самое узкое множество, которому принадлежит число, а затем добавь множества, содержащие его. Например, целое число также рациональное и действительное. Иррациональное число принадлежит действительным, но не рациональным.
Начнём с наиболее узких множеств: выясним, является ли число натуральным или целым, а затем проверим, рационально ли оно. Десятичные дроби сравним по их записи: конечная и периодическая дроби рациональны. Для каждого числа укажем также все более широкие множества, которым оно принадлежит.
Ответ: ℕ: 4; ℤ: −7, 0, 4; ℚ: −7, 0, 4, 3/5, 2,5, 0,(3); иррациональные: √2; ℝ: все перечисленные числа. Множества ℤ и ℚ включают числа из более узких множеств, поэтому записи в ответе закономерно повторяются.
У первой дроби десятичная запись конечная, поэтому её можно записать как число сотых и сократить. У второй запись периодическая, поэтому для перевода удобно обозначить число буквой и сдвинуть запятую на длину периода. Полученные дроби покажут, что оба числа рациональны, а значит, и действительны.
Ответ: 0,75 = 3/4, а 0,(6) = 2/3; оба числа рациональные и действительные. Проверка обратным переводом помогает убедиться в результате: 3/4 = 0,75, а 2/3 = 0,(6).
Докажем утверждение от противного: предположим, что √2 можно записать дробью целых чисел. Дробь можно сократить, поэтому будем считать её несократимой. Затем возведём равенство в квадрат и проследим, какие числа обязаны быть чётными.
Ответ: √2 — иррациональное число. В рассуждении существенно, что дробь сначала выбрана несократимой: иначе чётность числителя и знаменателя сама по себе не дала бы противоречия.
Иногда нуль без оговорки включают в натуральные числа. Так происходит потому, что определения натурального ряда в разных курсах могут отличаться. Проверь, с какого числа начинается ряд в используемом определении: здесь ℕ = {1, 2, 3, …}, поэтому 0 относится к целым, но не к натуральным.
Отрицательные числа могут ошибочно назвать натуральными, потому что они записываются целыми цифрами без дробной черты. Но натуральные числа служат для счёта, а отрицательные показывают значения ниже нуля и относятся к целым. Проверь положение числа на прямой: отрицательное стоит слева от нуля, а в натуральном ряду отрицательных чисел нет.
Бесконечную десятичную дробь часто сразу считают иррациональной. Путаница возникает из-за слова «бесконечная», хотя рациональными бывают и бесконечные записи с повторяющимся периодом. Найди, повторяется ли блок цифр: если запись периодическая, число рационально; если она бесконечна и непериодична, число иррационально.
Ещё одна ошибка — считать, что число может быть только целым или рациональным. Целое число уже является рациональным, поскольку его можно записать дробью со знаменателем 1; множество рациональных включает целые. Проверяй не только самое узкое множество, но и все более широкие: например, 4 одновременно натуральное, целое, рациональное и действительное.
Для этой темы понадобятся умения работать с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, отрицательными числами и числовой прямой. Классификация чисел помогает сравнивать и округлять значения, выполнять действия с дробями, решать уравнения и неравенства. Позже она пригодится при изучении квадратных корней, координат, функций и числовых промежутков. Например, знание о том, что √2 иррационально, помогает понимать, почему его десятичная запись не заканчивается и не повторяется периодически.
Считается ли нуль натуральным числом?
Это зависит от принятого определения: в одних курсах натуральные числа начинаются с 1, в других — с 0. В данном разборе используем обозначение ℕ = {1, 2, 3, …}, а нуль относим к целым числам.
Почему отрицательное число не является натуральным?
Натуральными называют числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Отрицательные числа показывают значения меньше нуля, например долг или температуру ниже нуля, поэтому они входят в целые числа.
Как быстро отличить рациональную десятичную дробь от иррациональной?
Конечная десятичная дробь и бесконечная периодическая дробь рациональны. Если бесконечная запись не заканчивается и в ней нет повторяющегося периода, число иррационально.
Почему √2 нельзя записать в виде обыкновенной дроби?
Если допустить, что √2 = m/n — несократимая дробь, то из равенства m² = 2n² следует, что m чётное. Подстановка m = 2k показывает, что n тоже чётное, а это противоречит несократимости дроби.
Может ли одно число одновременно быть натуральным, целым, рациональным и действительным?
Да. Например, 4 — натуральное число, поэтому оно также целое, рациональное (4 = 4/1) и действительное. Множества включены одно в другое, поэтому число может принадлежать сразу нескольким из них.
Числа
