Натуральный ряд

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют при счёте предметов. Например, пересчитывая карандаши, мы говорим: один, два, три. В принятом здесь определении натуральные числа начинаются с 1, поэтому этот термин помогает отличать числа для счёта от других чисел.

Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел, расположенных по возрастанию: 1, 2, 3, 4, … Многоточие показывает, что после записанных чисел ряд продолжается. Это расположение удобно, когда нужно упорядочить числа или найти место одного числа относительно другого.

Предшествующее число — натуральное число, которое стоит перед данным в натуральном ряду. Например, перед 8 стоит 7. Для числа 1 такого натурального числа нет, поэтому понятие помогает определить, какое число непосредственно предшествует данному.

Следующее число — натуральное число, которое стоит непосредственно после данного. Его получают, прибавляя к данному числу 1: после 8 идёт 9. Это правило позволяет продолжать ряд и быстро находить ближайшее большее натуральное число.

Как это устроено

Счёт начинается, когда предметам по очереди сопоставляют числа: первому — 1, второму — 2, третьему — 3. Каждый новый предмет увеличивает количество уже сосчитанных предметов на один, поэтому числа при счёте идут по порядку. Первым считают один предмет, и потому натуральный ряд в принятом определении начинается с 1. Ноль обозначает отсутствие предметов, а не очередной предмет при таком счёте.

Ряд строят, каждый раз прибавляя к уже названному числу единицу. Это связано с самим порядком счёта: после того как сосчитали n предметов, ещё один предмет даёт количество n + 1. Поэтому после любого натурального числа можно назвать следующее. Например, после 14 идёт 15, потому что 14 + 1 = 15.

Последнего натурального числа нет, потому что для любого выбранного числа можно выполнить одно и то же действие — прибавить 1. Если предположить, что какое-то число последнее, то число, полученное прибавлением единицы, окажется ещё больше и тоже будет натуральным. Значит, предположение о последнем числе приводит к противоречию. Так ряд продолжается без конца.

Соседние числа отличаются на единицу, поскольку каждое следующее число строится прибавлением 1. Поэтому следующее число больше предыдущего на 1, а предшествующее меньше данного на 1. Например, у 20 предшествующее число — 19, а следующее — 21. Для единицы правило о предшествующем числе не даёт натурального ответа: в ряду перед ней ничего нет.

Чем дальше вправо по натуральному ряду расположено число, тем больше его значение. Это следует из того, что при каждом шаге вправо прибавляется единица, а число увеличивается. Поэтому, если одно число стоит левее другого, оно меньше него. Например, 32 меньше 35, так как 32 в ряду расположено левее 35.

Как устроен натуральный ряд

Сначала найди в таблице характеристику, которая нужна для задачи, а затем прочитай соответствующее правило. Пример показывает, как применить его к конкретному числу. Для числа 1 отдельно учитывай, что натурального предшествующего числа у него нет.

Разбор задач

Задача 1. Запишите первые восемь чисел натурального ряда. Нужно начать с самого первого числа, а затем каждый раз переходить к следующему. Для этого прибавляем 1 и не пропускаем ни одного шага. Запишем результат по порядку.

1. Первое число ряда — 1.
2. После 1 идёт 2, затем 3 и 4.
3. Продолжаем: после 4 идут 5, 6, 7 и 8.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Задача 2. Назовите предшествующее и следующее числа для 36. Предшествующее число стоит на один шаг левее, а следующее — на один шаг правее. Поэтому для первого числа вычтем 1, а для второго прибавим 1. Проверим, что полученные числа находятся рядом с 36.

1. Находим предшествующее: 36 − 1 = 35.
2. Находим следующее: 36 + 1 = 37.
3. Проверяем порядок: 35, 36, 37 — три последовательных числа ряда.

Ответ: предшествующее число — 35, следующее — 37.

Задача 3. Из чисел 208, 280, 82 и 820 выберите те, которые расположены в натуральном ряду между 207 и 281. Число между границами должно быть больше 207 и одновременно меньше 281. Сравним каждый предложенный вариант с обеими границами. Если хотя бы одно из двух условий не выполняется, число не подходит.

1. 208 больше 207 и меньше 281, значит, подходит.
2. 280 больше 207 и меньше 281, значит, тоже подходит.
3. 82 меньше 207, а 820 больше 281, поэтому эти числа не лежат между границами.

Ответ: 208 и 280.

Типичные ошибки

Иногда 0 считают натуральным числом, потому что он встречается при записи чисел и вычислениях. Но в принятом здесь определении натуральный ряд начинается с 1. Чтобы проверить себя, вспомни, с какого числа начинается ряд в учебнике: записывай его именно по принятому правилу.

Некоторые называют 0 предшествующим числом для 1, считая, что перед единицей обязательно должно быть число. Однако 0 не входит в натуральный ряд, поэтому натурального предшествующего числа у 1 нет. Проверь ответ, выписав начало ряда: 1, 2, 3, … — перед первой записью другого натурального числа нет.

Предшествующее и следующее числа легко перепутать, если ориентироваться только на слово «соседнее». Предшествующее меньше данного на 1, а следующее больше на 1. Для проверки запиши три числа по порядку: предшествующее, данное, следующее; например, 35, 36, 37.

Поиск последнего натурального числа кажется возможным, если ряд представить короткой записью с многоточием. Но многоточие означает продолжение, а после любого названного числа можно прибавить 1. Проверь рассуждение так: к предполагаемому последнему числу прибавь единицу — получишь ещё одно натуральное число.

Связь с другими темами

Перед изучением натурального ряда полезно уметь пересчитывать предметы и понимать, что каждый новый предмет увеличивает их количество на один. Это помогает увидеть, почему числа при счёте располагаются по порядку. Знание ряда пригодится при сравнении и упорядочивании чисел, а также при изучении разрядов и арифметических действий. Например, понимание соседних чисел помогает ориентироваться в записи и вычислениях.

Что запомнить

• Натуральные числа используют при счёте.
• Натуральный ряд начинается с 1.
• Каждое следующее число получают прибавлением 1.
• У любого натурального числа есть следующее.
• Последнего натурального числа не существует.
• Перед 1 нет предшествующего натурального числа.
• В натуральном ряду числа расположены по возрастанию.