Числа

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которые используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В этой теме ноль не считают натуральным числом, хотя в других источниках договорённость может отличаться. Это множество нужно, чтобы пересчитывать предметы и указывать их количество.

Целые числа — натуральные числа, противоположные им числа и ноль: …, −2, −1, 0, 1, 2, … . Противоположные числа отличаются только знаком, например 5 и −5. Целые числа позволяют записывать не только количество, но и значения ниже нуля.

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −5 = −5/1, а 3/4 уже записано дробью. Это определение позволяет объединить целые числа и дроби в одно множество.

Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби целых чисел со знаменателем, отличным от нуля. Их десятичная запись бесконечна и непериодична, то есть цифры после запятой не заканчиваются и не повторяются одним и тем же блоком. Такие числа нужны, например, для точного описания некоторых длин и результатов вычислений с корнями.

Как это устроено

Числовые множества расширялись, потому что прежних чисел не хватало для новых задач. Натуральных чисел достаточно, чтобы считать предметы, но вычитание большего числа из меньшего не всегда даёт натуральный результат. Поэтому ввели отрицательные числа и ноль, получив целые числа; деление и измерение частей потребовали дробей, а значит — рациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными.

Отрицательные числа нужны для описания величин, направленных противоположно выбранному положительному направлению. Например, температура −5 °C ниже нуля, а долг можно представить числом со знаком минус. Дроби нужны, когда целую единицу делят на части: половина записывается как 1/2. Они также выражают результат деления, который не обязательно является целым числом.

Связь обыкновенной дроби с десятичной записью помогает распознавать рациональные числа. Если десятичная дробь конечна, её можно записать обыкновенной дробью: например, 0,25 = 25/100 = 1/4. Если запись бесконечна, но в ней повторяется блок цифр, она периодическая и также задаёт рациональное число. Обратно, при делении целых чисел со знаменателем, отличным от нуля, десятичная запись получается конечной или периодической.

Чтобы распознать иррациональное число, недостаточно увидеть много цифр после запятой или многоточие. Нужно установить, что запись бесконечна и не является периодической, либо использовать известный признак: корень из натурального числа, не являющегося точным квадратом, иррационален. Например, у √3 нет целого значения, а десятичная запись не образует повторяющегося периода. Поэтому √3 нельзя представить дробью целых чисел.

Действительные числа можно представить точками на числовой прямой. Для каждого действительного числа находится ровно одна точка, а у каждой точки прямой есть соответствующее действительное число. Рациональные числа располагаются на этой прямой вместе с иррациональными, хотя между двумя соседними целыми числами есть и те и другие. Такое соответствие помогает сравнивать числа и наглядно понимать их положение.

Числовые множества и их признаки

Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: сначала выясни, является ли число целым, затем — можно ли записать его дробью m/n. Для десятичной записи отличай конечную или периодическую от бесконечной непериодической. Учитывай, что множества вложены: например, натуральное число одновременно целое, рациональное и действительное.

Разбор задач

Распределите числа 0, −5, 3/4, 2, √2 по подходящим числовым множествам.

Сначала определим тип каждого числа, затем учтём вложенность множеств. Ноль не относится к натуральным, но входит в целые числа. Число −5 целое, а значит, также рациональное и действительное. Дробь 3/4 рациональна, число 2 натуральное, а √2 иррационально.

1. 0 — целое число; его можно записать как 0/1, поэтому оно также рациональное и действительное.
2. −5 — целое число, а запись −5/1 показывает, что оно рациональное; следовательно, оно действительное.
3. 3/4 — рациональное число, так как уже представлено дробью целых чисел с ненулевым знаменателем; оно действительное.
4. 2 — натуральное число. Поэтому оно также целое, рациональное (2 = 2/1) и действительное.
5. √2 — иррациональное число, так как 2 не является точным квадратом; оно входит в множество действительных чисел.

Ответ: 0 — целое, рациональное, действительное; −5 — целое, рациональное, действительное; 3/4 — рациональное, действительное; 2 — натуральное, целое, рациональное, действительное; √2 — иррациональное, действительное.

Укажите, какие из записей 0,25; 0,333…; 1,010010001… задают рациональные числа.

Для рационального числа десятичная запись должна быть конечной или периодической. Поэтому проверяем не только, бесконечна ли запись, но и повторяется ли в ней один и тот же блок. Многоточие означает продолжение записи, однако само по себе не сообщает, есть ли период.

1. 0,25 — конечная десятичная дробь, значит, рациональное число; например, 0,25 = 25/100 = 1/4.
2. В записи 0,333… цифра 3 повторяется без конца, поэтому запись периодическая. Это рациональное число: 0,333… = 1/3.
3. В записи 1,010010001… между единицами число нулей увеличивается. Постоянно повторяющегося блока нет, поэтому запись бесконечна и непериодична.

Ответ: рациональные числа — 0,25 и 0,333…; запись 1,010010001… задаёт иррациональное число. Здесь важно замечать, что бесконечная запись может оказаться периодической.

Докажите, что число √3 не является рациональным, и укажите, к каким числовым множествам оно принадлежит.

Можно использовать признак: корень из натурального числа, которое не является точным квадратом, иррационален. Но покажем и почему этот вывод следует из определения рационального числа. Предположим, что √3 рационально, и получим противоречие.

1. Если √3 рационально, его можно представить несократимой дробью a/b, где a и b — целые числа, b ≠ 0.
2. Возведём равенство √3 = a/b в квадрат: a² = 3b². Значит, a² делится на 3, а тогда и a делится на 3.
3. Пусть a = 3k. Подставим: 9k² = 3b², откуда b² = 3k². Тогда b тоже делится на 3.
4. Получается, что a и b оба делятся на 3, хотя дробь a/b была несократимой. Это противоречие, значит, предположение неверно.

Ответ: √3 — иррациональное действительное число. Оно не является натуральным, целым или рациональным, потому что не представляется дробью целых чисел.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любое бесконечное десятичное число иррациональным. Её допускают, потому что многоточие воспринимается как признак бесконечного, а бесконечность ошибочно принимают за достаточное условие. Проверь, повторяется ли блок цифр: у 0,333… он есть, значит, число рационально.

Ошибка — относить отрицательные целые числа к натуральным. Причина в том, что −5 выглядит как целое число, а натуральные числа иногда неточно называют «целыми». Проверь определение: натуральные числа используют при счёте и в этой теме начинаются с 1, поэтому −5 — целое, но не натуральное.

Ошибка — думать, что корень из любого числа иррационален. Это происходит, если забыть, что корень может извлекаться нацело: например, √9 = 3. Для проверки возведи целое число в квадрат: если подкоренное число является точным квадратом, его корень рационален.

Ошибка — считать числовые множества непересекающимися, будто число может входить только в одно из них. Так рассуждают, когда запоминают названия множеств, но не замечают их вложенности. Проверь число по каждому определению: 2 — натуральное, целое, рациональное и действительное одновременно.

Связь с другими темами

Для изучения чисел нужны знания об обыкновенных и десятичных дробях, отрицательных числах и координатной прямой. Дроби помогают понять, какие числа являются рациональными, а координатная прямая показывает их порядок и положение. Знание отрицательных чисел позволяет работать с целыми значениями по обе стороны от нуля.

Классификация чисел пригодится при решении уравнений и неравенств: она помогает понимать, где искать ответ и какие преобразования допустимы. Она также нужна в приближённых вычислениях, когда иррациональные значения округляют, и при изучении свойств числовых выражений. Умение различать множества помогает не путать точное значение с его приближением.

Что запомнить

• Каждое натуральное число является целым.
• Каждое целое число является рациональным.
• Рациональная дробь имеет знаменатель, отличный от нуля.
• Рациональная десятичная запись конечна или периодична.
• Иррациональная десятичная запись бесконечна и непериодична.
• Рациональные и иррациональные числа вместе составляют множество действительных чисел.