"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа нужны для счёта, измерений, вычислений и сравнения величин. В математике их объединяют в множества: натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные. Каждое новое множество расширяет предыдущее и позволяет выполнять больше действий: вычитать отрицательные числа, делить, записывать корни. Главное — понимать признаки чисел и их взаимное расположение на координатной прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — это числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Их множество обычно обозначают буквой N; в некоторых соглашениях в него включают и нуль, а в других N начинается с единицы. Эти числа нужны для счёта и нумерации.
Целые числа включают натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. Множество целых чисел обозначают Z. Оно необходимо, когда результат вычитания может быть меньше нуля.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Множество рациональных чисел обозначают Q. К нему относятся обычные дроби, целые числа, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.
Иррациональные числа нельзя представить дробью m/n с целым m и натуральным n. Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел, обозначаемое R. К действительным относятся все числа, которые можно изобразить точками на координатной прямой.
Сначала появились натуральные числа: их достаточно, чтобы посчитать предметы и сравнить их количество. Но при вычитании большего числа из меньшего натурального результата в этом множестве не найти: 3 − 5 не является натуральным числом. Поэтому добавили нуль и отрицательные числа, получив множество целых чисел.
Целых чисел недостаточно для деления. Например, результат 1 : 2 нельзя записать целым числом, поэтому понадобились дроби и более широкое множество рациональных чисел. Так возникает вложенность N ⊂ Z ⊂ Q: каждое натуральное число является целым, а каждое целое можно представить дробью со знаменателем 1.
Рациональные числа записываются не только обыкновенными дробями. Дробь можно преобразовать в конечную десятичную запись, например 3/4 = 0,75, или в бесконечную периодическую: 1/3 = 0,333…. И наоборот, любая конечная либо бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом.
Некоторые корни нельзя записать обыкновенной дробью. Например, √2 находится между 1 и 2, но не равен ни одной дроби m/n; его десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода. Такие числа называют иррациональными, а объединение рациональных и иррациональных чисел — действительными.
Действительные числа изображают точками на координатной прямой. Нуль отмечают в начале отсчёта, положительные числа располагают справа, а отрицательные — слева; одинаковой единице соответствует выбранный единичный отрезок. Из двух чисел больше то, чья точка находится правее.
| Множество | Обозначение | Какие числа входят | Примеры |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | N | Числа для счёта; обычно 1, 2, 3, … | 1, 8, 25 |
| Целые числа | Z | Натуральные, противоположные им числа и нуль | −4, 0, 7 |
| Рациональные числа | Q | Числа вида m/n, m ∈ Z, n ∈ N | 2/3, −5, 0,25 |
| Иррациональные числа | — | Числа, не представимые дробью m/n | √2, √5, π |
| Действительные числа | R | Рациональные и иррациональные числа | −3, 1/2, √7 |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала проверьте вид числа, а затем сопоставьте его с признаком множества. Помните о вложенности: если число натуральное, оно также целое, рациональное и действительное. Иррациональное число является действительным, но не рациональным.
Распределим числа 0, −4, 7, 2/3, 0,25 по множествам натуральных, целых и рациональных чисел. Нужно учитывать, что одно число может принадлежать сразу нескольким вложенным множествам. Будем проверять каждое число по определению.
Ответ: натуральные — 7 и, возможно, 0 по принятому соглашению; целые — −4, 0, 7; рациональные — 0, −4, 7, 2/3, 0,25.
Запишем 0,375 в виде обыкновенной дроби и определим, является ли число рациональным. В конечной десятичной дроби после запятой три цифры, поэтому знаменателем сначала будет 1000. Затем дробь нужно сократить.
Ответ: 0,375 = 3/8; это рациональное число.
Расположим числа −√5, −2, 1,4 и √3 по возрастанию. Оценим корни: 2² = 4 < 5 < 9 = 3², поэтому 2 < √5 < 3; также 1² < 3 < 4, значит, 1 < √3 < 2. Тогда −√5 примерно равно −2,24, а √3 — примерно 1,73.
Ответ: −√5 < −2 < 1,4 < √3.
Считать нуль натуральным без проверки. Ошибка появляется из-за разных соглашений в учебниках. Проверьте, начинается ли N с 0 или с 1, и используйте именно это определение.
Считать всякую бесконечную дробь иррациональной. Периодическая дробь 0,777… рациональна, потому что повторяющийся блок можно заменить обыкновенной дробью. Ищите период, то есть постоянно повторяющуюся группу цифр.
Путать целые и натуральные числа. В множество Z входят нуль и отрицательные числа, а в обычное множество N они не входят. Если перед числом стоит знак «−» или это нуль, проверьте его принадлежность отдельно.
Считать √a всегда иррациональным. Корень из полного квадрата рационален: √9 = 3. Перед выводом проверьте, не является ли подкоренное число квадратом целого числа.
Для понимания числовых множеств нужны навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями, отрицательными числами и координатной прямой. Без них трудно определить вид числа, преобразовать запись или правильно отметить число на прямой.
Эти понятия используются при решении уравнений и неравенств, работе с координатами и выполнении приближённых вычислений. Например, принадлежность числа определённому множеству помогает выбрать допустимый способ решения и проверить ответ.
Входит ли нуль в множество натуральных чисел?
Это зависит от принятого соглашения. Часто натуральными считают числа 1, 2, 3, …, а множество с нулём обозначают N₀. Поэтому определение нужно проверять по учебнику или условию задачи.
Почему целое число можно считать рациональным?
Любое целое число a можно записать как дробь a/1. Число 1 является натуральным, поэтому такая запись соответствует определению рационального числа.
Как понять, является ли бесконечная десятичная дробь рациональной?
Если в записи после некоторого места повторяется один и тот же блок цифр, дробь периодическая и рациональная. Бесконечная непериодическая запись соответствует иррациональному числу.
Всегда ли квадратный корень — иррациональное число?
Нет. Если подкоренное число является квадратом целого числа, корень рационален: √9 = 3, √16 = 4. Например, √2 рациональным не является.
Как сравнить числа, если они записаны через корни?
Можно оценить корни между соседними целыми числами или сравнить квадраты, если числа неотрицательны. Например, 1² < 3 < 2², значит, 1 < √3 < 2.
Числа
