Чётные и нечётные числа

Определения и обозначения

Чётное число — это целое число, которое делится на 2 без остатка. Его записывают в виде 2k, где k — любое целое число: например, 18 = 2 · 9, а 0 = 2 · 0. Такая запись показывает сам признак чётности и помогает доказывать свойства чисел.

Нечётное число — это целое число, которое при делении на 2 даёт остаток 1. Его можно представить как 2k + 1, где k — целое число: например, 25 = 2 · 12 + 1. Формула позволяет описать все нечётные числа, включая отрицательные.

Остаток при делении на 2 определяет чётность числа: у чётного остаток равен 0, у нечётного — 1. Других вариантов для целого числа нет, потому что остаток должен быть меньше делителя 2. Поэтому любое целое число обязательно чётное или нечётное.

Как это устроено

При делении целого числа на 2 возможны только остатки 0 и 1. Остаток 0 означает, что число полностью разбилось на пары двоек, а остаток 1 — что после составления пар осталась одна единица. Поэтому целые числа естественным образом разделяются на два непересекающихся вида.

Запись 2k описывает все чётные числа, потому что умножение любого целого k на 2 даёт деление без остатка. Запись 2k + 1 описывает все нечётные числа: сначала получается чётное 2k, затем добавляется одна единица. Любое целое число можно отнести к одному из этих видов, подобрав подходящее целое k.

Если сложить два чётных числа 2a и 2b, получится 2a + 2b = 2(a + b). Множитель 2 можно вынести за скобки, значит, результат делится на 2 без остатка. Именно поэтому сумма двух чётных чисел чётная.

У суммы чисел разной чётности один остаток 0 и один остаток 1, поэтому после деления на 2 остаётся 1. Алгебраически это видно из записи 2a + (2b + 1) = 2(a + b) + 1. А сумма двух нечётных чисел равна (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1), то есть является чётной.

В произведении чётного числа на любое целое число присутствует множитель 2: 2a · b = 2(ab). Поэтому такое произведение всегда чётно, даже если второй множитель нечётный. Если оба множителя нечётные, запись (2a + 1)(2b + 1) раскрывается в 2(2ab + a + b) + 1, поэтому произведение нечётно.

Чётность суммы и произведения

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала определите чётность обоих чисел, а затем найдите соответствующий столбец. Для суммы и произведения используются разные строки, поэтому операцию нельзя пропускать. Если хотя бы один множитель чётный, произведение сразу можно назвать чётным.

Разбор задач

Задача 1

Определите, какие из чисел 18, 25 и 0 чётные, а какие нечётные. Проверим делимость каждого числа на 2 или последнюю цифру в его десятичной записи. Отдельно учтём ноль, поскольку он тоже является целым числом.

1. Число 18 оканчивается цифрой 8 и делится на 2, значит, оно чётное.
2. Число 25 оканчивается цифрой 5 и при делении на 2 даёт остаток 1, значит, оно нечётное.
3. Число 0 делится на 2 без остатка: 0 = 2 · 0.

Ответ: 18 и 0 — чётные числа, 25 — нечётное число.

Задача 2

Не вычисляя сумму, определите её чётность: 348 + 125. Сначала определим чётность каждого слагаемого, потому что результат зависит только от этого. Затем применим правило для суммы чисел разной чётности.

1. 348 чётное число, так как оканчивается цифрой 8.
2. 125 нечётное число, так как оканчивается цифрой 5.
3. Сумма чётного и нечётного числа нечётна.

Ответ: сумма 348 + 125 нечётная. Вычислять её значение не требуется.

Задача 3

Докажите, что произведение любых двух последовательных целых чисел чётно. Последовательные числа отличаются на 1, поэтому одно из них обязательно чётное, а другое нечётное. Значит, в их произведении присутствует чётный множитель.

1. Пусть первое число равно n, тогда второе равно n + 1.
2. Если n чётное, произведение n(n + 1) чётно.
3. Если n нечётное, то n + 1 чётно, и произведение снова чётно.

Ответ: произведение любых двух последовательных целых чисел делится на 2 без остатка.

Типичные ошибки

Ошибка: считать 0 нечётным, потому что у него нет положительных цифр. Ноль чётный, так как 0 = 2 · 0 и делится на 2 без остатка. Проверяйте число по определению, а не по внешнему виду.

Ошибка: определять чётность только по последней цифре без уточнения, что речь идёт о целом числе в десятичной записи. Такой способ применим именно к целым числам, записанным в десятичной системе. Для проверки можно разделить число на 2 и посмотреть на остаток.

Ошибка: считать сумму двух нечётных чисел нечётной. Их остатки при делении на 2 складываются как 1 + 1 и дают полный десяток двоек, поэтому остаток результата равен 0. Например, 7 + 9 = 16 — чётное число.

Ошибка: полагать, что произведение нечётных чисел может быть чётным. У нечётных множителей нет множителя 2, поэтому произведение также имеет вид 2k + 1. Самопроверка: представьте оба множителя как 2a + 1 и 2b + 1.

Связь с другими темами

До изучения чётности нужно понимать деление с остатком. Также важно знать, что целые числа включают положительные и отрицательные числа, а также ноль. Эти сведения позволяют правильно применять определения к любому целому числу.

Чётность используется при исследовании делимости и решении задач на целые числа. Она помогает доказывать свойства сумм, произведений и последовательностей, не выполняя длинные вычисления. В задачах на выражения достаточно проследить, где появляется множитель 2 или остаток 1.

Что запомнить

• Чётное целое число имеет вид 2k.
• Нечётное целое число имеет вид 2k + 1.
• Остаток при делении целого числа на 2 равен 0 или 1.
• Сумма двух чётных чисел чётна.
• Сумма двух нечётных чисел чётна.
• Сумма чисел разной чётности нечётна.
• Произведение с чётным множителем чётно.