2.45. Чётные и нечётные числа

Определения и обозначения

Чётное число — натуральное число, которое делится на 2 без остатка. Его можно представить в виде 2k, где k — целое число, при котором значение выражения является натуральным. Например, 18 = 2 · 9, поэтому 18 — чётное. Такая запись удобна, когда нужно рассуждать не об одном числе, а о любом чётном числе сразу.

Нечётное число — натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1. Его можно записать в виде 2k + 1, где k — целое число, подходящее для получения данного числа. Например, 25 = 2 · 12 + 1. Эта форма помогает описывать все нечётные числа и доказывать их свойства.

Чётность числа — это его принадлежность к одному из двух видов: чётным или нечётным. Для натурального числа достаточно выяснить, какой остаток оно даёт при делении на 2. Чётность используют, чтобы быстро проверять делимость и понимать, какими могут быть суммы и произведения чисел.

Как это устроено

При делении натурального числа на 2 остаток меньше делителя, то есть меньше 2. Остаток может быть только 0 или 1: других натуральных чисел между ними нет. Если остаток равен 0, число делится на 2 нацело; если равен 1, число на единицу больше ближайшего меньшего числа, кратного 2. Поэтому натуральные числа делятся на две группы — чётные и нечётные.

Запись 2k задаёт чётное число, потому что в ней число умножается на 2. При делении 2k на 2 множитель 2 сокращается, и остаётся k, значит, остатка нет. В выражении 2k + 1 к чётному числу 2k прибавлена единица, поэтому при делении на 2 остаётся 1. Например, при k = 4 получаются 8 и 9: первое число чётное, второе нечётное.

Если натуральное число чётное, то следующее за ним число на 1 больше: к чётному числу прибавляется нечётное число 1, поэтому результат нечётный. А если число нечётное, прибавление 1 даёт ближайшее чётное число. Иначе говоря, остаток при делении на 2 меняется с 0 на 1 или с 1 на 0. Поэтому любые соседние натуральные числа имеют разную чётность.

Суммы можно исследовать, заменив слагаемые их записями. Два чётных числа дают 2k + 2m = 2(k + m), а два нечётных — (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1); обе суммы имеют вид 2n и чётны. Если одно число чётное, а другое нечётное, сумма равна 2k + 2m + 1 = 2(k + m) + 1, поэтому она нечётная. Здесь решающим оказывается остаток, который остаётся после объединения слагаемых.

В произведении чётных чисел двойка входит в состав одного из множителей. Например, если первый множитель равен 2k, то (2k)m = 2(km), следовательно, результат делится на 2. Если оба числа нечётные, то (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1. Получилась запись вида 2n + 1, значит, произведение двух нечётных чисел нечётно.

Признаки чётных и нечётных чисел

Сравни признаки в таблице, чтобы определить вид числа по остатку или по его записи. В строке с примерами указаны числа, подходящие под каждый вид. Последняя строка напоминает: у следующего натурального числа чётность всегда меняется.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел 18, 25 и 40 чётные, а какие нечётные. Можно разделить каждое число на 2, но для многозначных чисел удобнее воспользоваться последней цифрой. Чётность числа определяется именно делением на 2, а последняя цифра позволяет быстро проверить его делимость.

1. У числа 18 последняя цифра 8, поэтому оно чётное.
2. У числа 25 последняя цифра 5, поэтому оно нечётное.
3. У числа 40 последняя цифра 0, поэтому оно чётное.

Ответ: чётные числа — 18 и 40, нечётное — 25.

Задача 2. Определите чётность числа 137 + 248, не вычисляя сумму. Если сложить числа полностью, получится ответ, но это необязательно: сначала определим чётность каждого слагаемого. Затем применим правило сложения чисел разной чётности.

1. Число 137 оканчивается на 7, значит, оно нечётное.
2. Число 248 оканчивается на 8, значит, оно чётное.
3. Сумма нечётного и чётного числа нечётна, поэтому сумма сохраняет нечётность одного слагаемого.

Ответ: 137 + 248 — нечётное число.

Задача 3. Докажите, что произведение двух нечётных натуральных чисел нечётно. Обозначим эти числа через 2k + 1 и 2m + 1: такая запись подходит для любого нечётного числа. Перемножим выражения и выделим двойку, чтобы получить признак нечётного числа.

1. Запишем произведение: (2k + 1)(2m + 1).
2. Раскроем скобки: 4km + 2k + 2m + 1.
3. Вынесем 2 из первых трёх слагаемых: 2(2km + k + m) + 1.
4. Выражение в скобках — целое число, поэтому результат имеет вид 2n + 1.

Ответ: произведение двух нечётных натуральных чисел нечётно.

Типичные ошибки

• Иногда нечётным называют число, которое «не делится на 2», и на этом останавливаются. Так забывают проверить остаток, хотя в этой теме важно различать остатки при делении. У натурального числа остаток при делении на 2 всегда равен 0 или 1; проверь деление, если сомневаешься.

• Чётность могут ошибочно связывать с делимостью на любое число, например на 3 или 5. Но чётным называется число, которое делится именно на 2. Чтобы проверить себя, раздели число на 2 или посмотри, оканчивается ли оно на 0, 2, 4, 6 или 8.

• Можно решить, что сумма двух нечётных чисел нечётна, потому что оба слагаемых нечётные. Однако остатки 1 и 1 при сложении дают 2, то есть ещё одну полную двойку, поэтому сумма чётная. Проверь вывод записью (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1).

• Иногда произведение двух нечётных чисел объявляют чётным, будто чётность появляется просто из-за умножения. Но для гарантированной чётности в произведении нужен хотя бы один чётный множитель. Подставь записи 2k + 1 и 2m + 1: результат имеет вид 2n + 1, значит, он нечётный.

Связь с другими темами

Для изучения чётности нужно понимать деление с остатком и знать, что значит делиться нацело. Эти знания позволяют перейти от проверки отдельных чисел к общим рассуждениям с записями 2k и 2k + 1. Чётность понадобится при изучении делимости и свойств натуральных чисел, а также при доказательстве утверждений о числах. Ею можно проверять ответы в вычислениях и выяснять, какие значения могут принимать выражения.

Что запомнить

• Чётное число делится на 2 без остатка.
• Нечётное число при делении на 2 даёт остаток 1.
• Чётное число имеет вид 2k.
• Нечётное число имеет вид 2k + 1.
• Соседние натуральные числа имеют разную чётность.
• Сумма двух чисел одной чётности чётная.
• Произведение с чётным множителем чётное.