2.44. Умножение и деление чисел

Определения и обозначения

Произведение чисел — результат умножения этих чисел; сами числа называют множителями. Например, в записи (−3) · 5 = −15 числа −3 и 5 — множители, а −15 — произведение. Его знак зависит от знаков обоих множителей: одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный. Это правило помогает не смешивать знак ответа с вычислением его числового значения.

Частное чисел — результат деления одного числа на другое; первое число называют делимым, второе — делителем. Частное q чисел a и b связано с умножением равенством q · b = a: при делении мы ищем число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Частное существует при ненулевом делителе, а делить на ноль нельзя. Эта связь позволяет проверять деление умножением и находить неизвестные множители.

Числа одного знака — два положительных числа или два отрицательных числа. Например, 6 и 2, а также −6 и −2 имеют одинаковые знаки. Их произведение и частное положительны, если делитель не равен нулю. Так, (−6) · (−2) = 12, а (−6) : (−2) = 3.

Числа разных знаков — числа, одно из которых положительное, а другое отрицательное. Например, у чисел −8 и 4 знаки разные. Их произведение и частное отрицательны, если делитель не равен нулю. Поэтому (−8) · 4 = −32, а (−8) : 4 = −2.

Как это устроено

Действия с числами любых знаков должны согласовываться с уже знакомым умножением натуральных чисел и распределительным свойством: a · (b + c) = a · b + a · c. Благодаря этому правила для отрицательных чисел не придумываются отдельно, а продолжают работать так, чтобы вычисления оставались непротиворечивыми. Например, сумма чисел 4 и −4 равна нулю. Если умножить её на 3, получится 0, а по распределительному свойству — 3 · 4 + 3 · (−4), значит, 3 · (−4) должно быть равно −12.

Знак произведения определяется знаками множителей. При одинаковых знаках произведение положительно, а при разных — отрицательно. Для двух отрицательных множителей положительность также следует из распределительного свойства: произведение (−a) · (−b) должно дать противоположное число по отношению к (−a) · b, если a и b положительны. Поскольку (−a) · b отрицательно, противоположное ему число положительно. Так устанавливается общее правило, а не только отдельный пример.

После определения знака остаётся вычислить числовую часть ответа. Модуль произведения равен произведению модулей множителей: |a · b| = |a| · |b|. Например, у произведения (−7) · 4 знак отрицательный, а модуль равен 7 · 4 = 28, поэтому результат — −28. Такой порядок удобен тем, что знак и вычисление модулей не мешают друг другу.

Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Поэтому знак частного выбирают так же, как знак произведения: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Затем делят модули делимого и делителя, причём делитель должен быть ненулевым: |a : b| = |a| : |b| при b ≠ 0. Например, частное −56 : (−8) положительно, потому что умножение положительного числа на −8 может дать отрицательное делимое?

Особые случаи связаны с тем, что происходит при умножении на ноль. Любое число, умноженное на ноль, даёт ноль, поэтому и произведение с нулевым множителем равно нулю. Из связи деления с умножением следует, что 0 : b = 0, если b ≠ 0: только ноль при умножении на b даёт ноль. Деление на ноль невозможно: ни одно число при умножении на ноль не даёт ненулевое делимое, а в случае 0 : 0 подходило бы любое число.

Знаки и результаты умножения и деления чисел

В таблице сначала найди строку, которая описывает знаки или ноль в твоём примере. Затем выбери столбец нужного действия: он подскажет знак результата или особое правило. Для деления всегда дополнительно проверь, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите произведение чисел −7 и 4. Нужно отделить определение знака от вычисления модулей. Числа имеют разные знаки, значит, ответ будет отрицательным. Модули равны 7 и 4, поэтому перемножаем именно их.

1. Определяем знаки множителей: −7 — отрицательное число, 4 — положительное.
2. Выбираем знак произведения: при разных знаках результат отрицательный.
3. Умножаем модули: |−7| · |4| = 7 · 4 = 28.

Ответ: −28. Проверка знака показывает, что положительное число здесь получиться не могло.

Задача 2. Вычислите частное −56 : (−8). Сначала проверяем, допустимо ли деление: делитель −8 не равен нулю. Делимое и делитель отрицательные, то есть имеют одинаковые знаки, поэтому частное положительно. Теперь остаётся разделить модули чисел.

1. Определяем знак частного: знаки одинаковые, значит, ставим плюс.
2. Находим модули: |−56| = 56, |−8| = 8.
3. Делим: 56 : 8 = 7, следовательно, частное равно 7.

Ответ: 7. Проверим умножением: 7 · (−8) = −56, то есть получили исходное делимое.

Задача 3. Найдите x, если x · (−6) = 42. Здесь неизвестен один из множителей, а произведение и второй множитель известны. Восстановить неизвестный множитель можно делением произведения на известный множитель. По знакам заранее видно, что x должен быть отрицательным: только произведение двух чисел разных знаков даст 42.

1. Записываем обратное действие: x = 42 : (−6).
2. Определяем знак частного: знаки делимого и делителя разные, значит, x отрицателен.
3. Делим модули: 42 : 6 = 7, поэтому x = −7.

Ответ: x = −7. Проверка: (−7) · (−6) = 42, равенство выполняется.

Типичные ошибки

Ошибка — считать произведение или частное чисел разных знаков положительным. Её допускают, когда ориентируются только на сами числа и забывают отдельное правило знаков. Перед вычислением поставь знак результата: у чисел разных знаков он отрицательный. Проверить себя можно по тому, что противоположные по знаку множители при умножении дают отрицательный результат.

Ошибка — складывать модули вместо того, чтобы умножить или разделить их. Так бывает, если знак числа отвлекает от выбранного действия. Сначала определи знак ответа, затем выполни именно то действие, которое записано между модулями. Например, для (−7) · 4 нужно вычислить 7 · 4, а не 7 + 4.

Ошибка — утверждать, что деление на ноль даёт ноль. Ноль получается при делении нуля на ненулевое число, но это другой случай. Проверь делитель: если он равен нулю, действие не определено. Проверка умножением тоже помогает увидеть проблему: результат деления должен при умножении на делитель дать делимое.

Ошибка — путать выражения (−a) · (−b) и −(a · b). В первом случае оба множителя отрицательные, поэтому произведение положительно; во втором минус стоит перед произведением положительных a и b, поэтому всё выражение отрицательно. Путаница возникает из-за похожей записи. Расставь скобки и посчитай знаки множителей отдельно, а затем проверь результат на простых значениях, например a = 2 и b = 3.

Связь с другими темами

Для работы с произведениями и частными нужны знания о положительных и отрицательных числах, модуле числа и действиях с натуральными числами. Модуль помогает отделить величину числа от его знака, а навыки умножения и деления натуральных чисел нужны для вычисления модулей. Если эти действия пока вызывают затруднения, полезно повторить их на положительных числах.

Правила знаков пригодятся при вычислениях с рациональными числами, то есть числами, которые можно представить в виде дроби. Они также помогают решать уравнения с неизвестными множителями и делителями и находить значения выражений. Уверенное определение знака уменьшает число ошибок и позволяет быстро проверять ответы обратным действием.

Что запомнить

• При умножении и делении чисел одного знака результат положителен.
• При умножении и делении чисел разных знаков результат отрицателен.
• Модуль произведения равен произведению модулей.
• Модуль частного равен частному модулей, если делитель не равен нулю.
• Ноль, умноженный на любое число, даёт ноль.
• Ноль можно разделить на ненулевое число; делить на ноль нельзя.