2.66. Умножение и деление чисел

Определения и обозначения

Произведение чисел — результат умножения. В записи a · b числа a и b — множители, а точка обозначает действие умножения. Например, 3 · 4 = 12: число 12 является произведением. Это понятие нужно, чтобы описывать результат умножения и распознавать его в выражениях.

Частное чисел — результат деления. Запись a : b означает число, которое при умножении на b даёт a: если a : b = c, то c · b = a. Например, 12 : 3 = 4, потому что 4 · 3 = 12. Эта связь помогает понять деление и проверять его результат.

Числа, которые перемножают, называются множителями. В делении число, которое делят, — делимое, а число, на которое делят, — делитель. В записи 18 : 6 = 3 число 18 — делимое, а 6 — делитель. Названия частей действия помогают не перепутать, какие числа нужно использовать при вычислении и проверке.

Правило знаков определяет, каким будет знак произведения или частного, по знакам участвующих чисел. Для умножения сравнивают знаки множителей, для деления — знаки делимого и делителя. Если знаки одинаковые, результат положительный; если разные — отрицательный. После выбора знака с модулями чисел выполняют нужное действие.

Как это устроено

Если множители имеют одинаковые знаки, их произведение положительно, а модуль результата равен произведению модулей. Для положительных чисел это обычное умножение. Для двух отрицательных результат тоже положительный: при смене знака у обоих множителей знак произведения не меняется, потому что две смены знака взаимно компенсируются. Например, (−4) · (−7) = 28.

При разных знаках произведение отрицательно, а его модуль находят умножением модулей множителей. Один множитель можно представить как число с противоположным знаком; тогда меняется знак произведения, но величина остаётся такой же. Поэтому 4 · (−7) и (−4) · 7 имеют одинаковый отрицательный результат. Получается, что для величины важны модули, а для знака — число отрицательных множителей.

Деление связано с умножением как обратное действие: частное должно при умножении на делитель дать делимое. Поэтому модуль частного находят делением модуля делимого на модуль делителя, а знак — по правилу знаков. Например, у чисел 54 и −6 разные знаки, значит частное отрицательно; 54 : 6 = 9, следовательно, 54 : (−6) = −9. Проверка −9 · (−6) = 54 подтверждает ответ.

При умножении на положительное число знак результата сохраняется, а при умножении на отрицательное — меняется, если второй множитель не равен нулю. Умножение на ноль всегда даёт ноль, потому что ноль раз любое число равно нулю. Деление на положительное число сохраняет знак делимого, а на отрицательное меняет его. Ноль можно делить на ненулевое число: результат равен нулю, но деление на ноль невозможно.

Деление проверяют умножением: частное умножают на делитель и должны получить делимое. В выражении с умножением и делением эти действия равноправны, поэтому их выполняют слева направо, если скобки не задают другой порядок. Например, в цепочке a : b · c сначала вычисляют a : b, а затем умножают результат на c. Если начать с другого действия, можно получить иное значение выражения.

Правила умножения и деления чисел

Сначала выбери строку по знакам чисел или по особому случаю с нулём. Затем вычисли действие с модулями, если делитель не равен нулю. Последний столбец помогает заметить условие, при котором действие невозможно.

Разбор задач

Вычислите произведение (−4) · (−7)

Нужно определить знак произведения и отдельно вычислить его модуль. Оба множителя отрицательные, значит они одного знака и произведение будет положительным. Модули равны 4 и 7; их произведение равно 28.

1. Сравним знаки: оба множителя отрицательные, поэтому знак результата положительный.
2. Найдём модули: |−4| = 4 и |−7| = 7.
3. Перемножим модули: 4 · 7 = 28.
4. Запишем положительный результат: (−4) · (−7) = 28.

Ответ: 28. Знак не нужно выбирать по одному из множителей: он определяется сразу по обоим знакам. Так как множители одинакового знака, ответ положительный.

Вычислите 54 : (−6) и проверьте ответ

В делении 54 — делимое, а −6 — делитель. Их знаки разные, поэтому частное должно быть отрицательным. Чтобы найти его модуль, разделим 54 на 6, а затем проверим полученный результат умножением на делитель.

1. Определим знак: числа 54 и −6 разных знаков, значит частное отрицательное.
2. Разделим модули: 54 : 6 = 9.
3. Объединим знак и модуль: 54 : (−6) = −9.
4. Проверим: (−9) · (−6) = 54, то есть получили делимое.

Ответ: −9. Проверка верна, потому что произведение частного и делителя равно делимому. Если при проверке выходит другое число, следует заново проверить вычисления или знак.

Вычислите (−24) : 3 · (−2) : (−4)

Скобок, которые меняли бы порядок действий, здесь нет, а умножение и деление равноправны. Поэтому идём слева направо и после каждого действия определяем знак результата. Нельзя сначала выбирать удобные числа в другом порядке: это изменило бы значение выражения.

1. Выполним первое деление: (−24) : 3 = −8, так как знаки разные, а 24 : 3 = 8.
2. Умножим полученное число на −2: (−8) · (−2) = 16, поскольку знаки одинаковые, а 8 · 2 = 16.
3. Разделим результат на −4: 16 : (−4) = −4, так как знаки разные, а 16 : 4 = 4.

Ответ: −4. Каждый шаг выполнен слева направо, а знак определён отдельно от вычисления модулей. Последнее деление допустимо, поскольку делитель −4 не равен нулю.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что произведение двух отрицательных чисел отрицательно. Так бывает, когда знак одного множителя переносят на результат, не сравнивая оба знака. Проверь правило: одинаковые знаки дают положительное произведение, поэтому (−3) · (−5) = 15. Дополнительно можно оценить модуль: он должен быть 3 · 5 = 15.

Ошибка: получать положительное частное при делении чисел разных знаков. Обычно правило знаков вспоминают для умножения, но забывают применить и к делению. Например, 12 : (−3) = −4, поскольку делимое и делитель имеют разные знаки. Проверь ответ умножением: −4 · (−3) = 12.

Ошибка: считать деление на ноль возможным или объявлять ноль, делённый на ненулевое число, неопределённым. Эти случаи различаются: 0 : 5 = 0, а 5 : 0 не имеет значения. В первом случае проверка даёт 0 · 5 = 0, во втором невозможно получить 5 умножением любого числа на 0. Перед делением обязательно проверь делитель.

Ошибка: менять порядок умножения и деления в цепочке. Это происходит, если считать, что деление обязательно выполняется раньше умножения; на самом деле у этих действий одинаковый приоритет. Например, 24 : 6 · 2 считают слева направо: 4 · 2 = 8. Для самопроверки расставляй промежуточные результаты над действиями и учитывай скобки.

Связь с другими темами

Перед изучением правил полезно уметь находить модуль числа — расстояние от него до нуля на числовой прямой, — сравнивать числа и умножать и делить натуральные числа. Именно эти умения нужны, чтобы отдельно вычислить величину результата и правильно определить его знак. Если вычисления с натуральными числами знакомы, остаётся внимательно учитывать знаки и ноль.

Правила применяются при действиях с рациональными числами, то есть с числами, которые можно записать в виде дроби. Они нужны для преобразования выражений с отрицательными числами и для проверки решений уравнений. В уравнении связь деления и умножения помогает находить неизвестный множитель: частное можно проверить обратным действием.

Что запомнить

• Модули перемножают или делят отдельно от определения знака.
• Числа одного знака дают положительное произведение или частное.
• Числа разных знаков дают отрицательное произведение или частное.
• Произведение любого числа на ноль равно нулю.
• Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• Деление на ноль невозможно.
• В цепочке умножения и деления действия выполняют слева направо.