"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение и деление чисел помогают находить произведение и частное, а также упрощать выражения и решать уравнения. Для чисел с разными знаками сначала определяют знак результата, затем выполняют действие с модулями — расстояниями чисел от нуля. Одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный. Нулевой множитель обнуляет произведение, но делить на нуль нельзя. Результат деления можно проверить обратным действием — умножением.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Произведение чисел — результат умножения, например, в записи a · b число a и число b — множители, а их результат — произведение. Это обозначение помогает увидеть, какие числа участвуют в действии и что нужно вычислить. При перемене множителей местами произведение не меняется.
Частное чисел — результат деления: в записи a : b число a называют делимым, а b — делителем. Частное показывает, какое число нужно умножить на делитель, чтобы получить делимое. Поэтому проверка деления связана с умножением.
Модуль числа — расстояние от этого числа до нуля на числовой прямой. Модуль не бывает отрицательным: например, |−5| = 5 и |5| = 5. При умножении и делении модулей находят модуль результата, а знак определяют отдельно.
Правило знаков — способ определить, будет ли произведение или частное положительным либо отрицательным. Одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Это правило позволяет сначала разобраться со знаком, не смешивая его с вычислением величин чисел.
При умножении чисел с одинаковыми знаками результат положительный, а с разными — отрицательный. Это связано с тем, что знак показывает направление на числовой прямой: умножение на отрицательное число меняет направление, а повторная смена направления возвращает его. Поэтому сначала сравнивают знаки множителей, затем перемножают их модули. Например, для −3 · 4 модуль результата равен 3 · 4, а знак будет минус.
При делении ненулевых чисел действует та же логика знаков. Частное — это число, которое при умножении на делитель даёт делимое, поэтому знаки должны сочетаться так же, как при умножении. Если делимое и делитель имеют одинаковые знаки, частное положительно; если разные — отрицательно. После этого делят модули чисел.
Нулевой множитель делает произведение равным нулю, потому что нуль означает отсутствие частей или групп в результате умножения. Деление на нуль невозможно: частное должно при умножении на делитель дать делимое, но произведение любого числа на нуль равно нулю. Нуль можно разделить на ненулевое число: частное будет нулём, поскольку 0 · b = 0 при b ≠ 0. Значит, нужно различать записи 0 : b и b : 0.
Умножение на 1 сохраняет число, а умножение на −1 меняет его знак: множитель 1 не изменяет величину, а множитель −1 отражает число относительно нуля. При делении на 1 число также сохраняется, а при делении на −1 меняет знак. Эти правила можно применять к положительным и отрицательным числам. Например, −8 : (−1) = 8.
Деление проверяют умножением, потому что частное и делитель при обратном действии должны восстановить делимое. Если a : b = c, то c · b должно быть равно a, причём b не равен нулю. Например, проверка ответа 6 для 42 : 7 — это равенство 6 · 7 = 42. Проверка помогает заметить ошибку и в вычислении, и в знаке.
| Ситуация | Знак результата | Действия с модулями |
|---|---|---|
| Множители или делимое и делитель имеют одинаковые знаки | Положительный | Перемножить или разделить модули |
| Множители или делимое и делитель имеют разные знаки | Отрицательный | Перемножить или разделить модули |
| Один из множителей равен нулю | Нулевой результат | Вычислять модули не требуется |
| Делитель равен нулю | Не определён | Деление выполнить нельзя |
Сначала найди строку, которая соответствует знакам чисел или наличию нуля. Затем отдельно определи знак результата и выполни действие с модулями. Если нулю равен делитель, вычисление прекращают: частного не существует.
Задача. Вычислите произведение −7 · 4.
Ответ: −28.
Задача. Вычислите частное 36 : (−9) и проверьте результат.
Ответ: −4.
Задача. Вычислите −2,5 · 1,2 : (−0,6).
Ответ: 5.
Иногда считают, что произведение чисел с разными знаками положительно. Ошибка появляется, когда правило знаков путают с тем, что модули всегда неотрицательны. Сначала определи знак, а потом вычисляй модули: например, у −7 · 4 знак отрицательный. Для проверки отдельно запиши оба шага.
Бывает, что минус ставят, если среди множителей встретилось хотя бы одно отрицательное число. Но два отрицательных множителя дают положительное произведение, а три — отрицательное: важна чётность количества минусов. Объединяй минусы в пары; если пара не останется, знак плюс, если останется один — минус. Так можно проверить знак без вычисления модулей.
Нельзя делить на нуль, но нуль делить на ненулевое число можно, и результат равен нулю. Путаница возникает из-за того, что в обеих записях есть нуль. Проверяй его место: 0 : 5 = 0, так как 0 · 5 = 0, а 5 : 0 не определено. Связь с умножением показывает, почему эти случаи различны.
Если забыть скобки у отрицательного множителя или делителя, знак числа можно прочитать неверно. Например, в записи 12 : (−3) делитель — отрицательное число целиком, поэтому частное отрицательно. Перед вычислением выдели знаки всех чисел, не смешивая их со знаками действий. Затем сверь результат умножением на делитель.
Для работы с умножением и делением чисел нужно знать модуль, противоположные числа и правила действий с натуральными числами и дробями. Модуль помогает выполнять вычисления с величинами, а противоположные числа — понимать смену знака. Навык умножения дробей и деления на дробь позволяет применять те же правила к разным видам чисел.
Эти правила пригодятся при действиях с рациональными числами — числами, которые можно представить в виде дроби. Они помогают упрощать выражения и сохранять верные знаки в промежуточных вычислениях. В уравнении умение умножать и делить числа позволяет находить неизвестное и проверять полученный ответ.
Почему минус на минус даёт плюс?
Знак результата должен сохранять закономерность распределительного свойства умножения. Например, −3 · (2 + (−2)) = 0, поэтому −3 · 2 и −3 · (−2) должны быть противоположными числами. Так как −3 · 2 = −6, получаем −3 · (−2) = 6.
Как определить знак произведения нескольких отрицательных чисел?
Посчитай, сколько в произведении отрицательных множителей. Если их количество чётное, минусы можно объединить в пары и получить плюс; если нечётное, один минус останется. Поэтому знак будет положительным при чётном количестве отрицательных множителей и отрицательным при нечётном.
Можно ли разделить нуль на отрицательное число?
Можно, если отрицательное число не равно нулю. Например, 0 : (−5) = 0, потому что 0 · (−5) = 0. Деление на нуль, в отличие от этого случая, не определено.
Почему нельзя делить на нуль?
Частное должно быть таким числом, которое при умножении на делитель даёт делимое. Для деления на нуль пришлось бы найти число, произведение которого на нуль не равно нулю, а такого числа нет. Поэтому деление на нуль не имеет смысла.
Как проверить деление отрицательных чисел?
Умножь полученное частное на делитель: должно получиться делимое. Например, если −36 : (−9) = 4, то проверка такая: 4 · (−9) = −36. Если равенство не выполняется, значит, в вычислении или знаке допущена ошибка.
2.58. Умножение и деление чисел
