2.55. Умножение и деление чисел

Определения и обозначения

Умножение чисел — действие, результат которого называется произведением; числа, которые перемножают, называются множителями. Например, в записи (−3) · 5 множители — −3 и 5, а точка обозначает умножение. Это действие удобно, когда нужно объединить одинаковые группы или быстро записать повторение одного и того же слагаемого. Для отрицательных и дробных чисел умножение расширяет знакомые правила вычислений.

Произведение — результат умножения. Его знак определяется знаками множителей: если они одинаковые, произведение положительное, а если разные — отрицательное. Поэтому (−3) · (−5) — положительное число, а (−3) · 5 — отрицательное. Знак нужно определить отдельно от величины результата, чтобы не смешивать правило знаков с вычислением модулей.

Деление — действие, обратное умножению: делимое делят на делитель и получают частное. В записи a : b число a — делимое, b — делитель, а двоеточие означает деление. Обратная связь помогает понять, какое число нужно найти: оно при умножении на делитель должно дать делимое. Деление позволяет, например, распределить величину поровну или найти неизвестный множитель.

Частное — результат деления делимого на делитель. Если a : b = c, то c · b = a, причём b ≠ 0. Эта связь нужна для проверки вычислений и объясняет, почему делитель не может быть нулём: умножение на ноль не даст ненулевое делимое, а при нулевом делимом подходящих частных окажется много. Само деление на ноль поэтому не определено.

Как это устроено

Правило знаков при умножении связано с тем, что умножение должно сохранять известное распределительное свойство. Например, сумма 2 и −2 равна нулю, поэтому произведение −3 · (2 + (−2)) тоже равно нулю. Раскрывая скобки, получаем (−3) · 2 + (−3) · (−2) = 0; первое слагаемое равно −6, значит второе должно быть 6. Так одинаковые знаки дают положительное произведение, а разные — отрицательное.

При умножении на ноль результат всегда равен нулю, поскольку ноль означает отсутствие величины: 0 · a = 0. Умножение на единицу не меняет число, так как одна группа величины a содержит ровно a. Произведение ненулевых чисел не может стать нулём: модуль каждого множителя положителен, а произведение положительных модулей также положительно. Знак результата может быть любым, но нулевым он не будет.

Чтобы выполнить деление, нужно подобрать число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, в 12 : 3 ищем число, для которого 3 · число = 12; это число 4. Такой способ показывает, что деление и умножение проверяют друг друга. Если делитель равен нулю, подобрать частное для ненулевого делимого невозможно, ведь любое число, умноженное на ноль, даёт ноль.

Правило знаков при делении следует из обратной связи с умножением. Если числа имеют одинаковые знаки, частное должно быть положительным: например, положительное число при умножении на положительный делитель даёт положительное делимое, а отрицательное частное на отрицательный делитель тоже даёт положительное делимое. Если знаки делимого и делителя разные, частное отрицательно, потому что только отрицательное число при умножении на положительный делитель даст отрицательное делимое. Поэтому для деления действуют те же правила знаков, что и для умножения.

С дробными числами удобно действовать в два этапа: сперва определить знак, потом вычислить модуль результата. При умножении модуль произведения находят по правилам умножения дробей, а при делении модуль делимого делят на модуль делителя. Например, при делении дробей деление заменяют умножением на дробь, обратную делителю. Такой порядок отделяет вычисления от выбора знака и помогает не потерять минус.

Правила знаков при умножении и делении чисел

Найди в таблице нужное действие и сравни знаки чисел, чтобы определить знак ответа. После этого вычисли модули: перемножь или раздели их по знакомым правилам. Строки о нуле проверяй отдельно, особенно перед делением.

Разбор задач

Вычислим произведение (−6) · (−4). Сначала выясним, каким будет знак: оба множителя отрицательные, значит знаки одинаковые и произведение положительное. Затем перемножим модули 6 и 4; при этом минусы второй раз в вычислениях не участвуют.

1. Сравниваем знаки множителей: они одинаковые.
2. Ставим перед ответом знак плюс.
3. Вычисляем модули: 6 · 4 = 24.

Ответ: 24. Проверить знак можно по распределительному свойству или, на данном уровне, сверив его с правилом одинаковых знаков. Если оставить в ответе минус, это будет означать, что при выборе знака учтён только один множитель.

Вычислим 3,6 : (−0,9). Делимое положительное, делитель отрицательный, поэтому частное будет отрицательным. Теперь делим модули: нужно понять, сколько раз 0,9 содержится в 3,6; для этого можно убрать запятые, умножив оба числа на 10.

1. Определяем знак частного: знаки разные, значит результат отрицательный.
2. Вычисляем частное модулей: 3,6 : 0,9 = 36 : 9 = 4.
3. Возвращаем найденный знак и записываем −4.

Ответ: −4. Проверяем умножением: (−4) · (−0,9) = 3,6, что совпадает с делимым. Проверка подтверждает и величину, и знак результата.

Рассмотрим выражение (−2/3) · 9/4 : (−3/2). Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их слева направо. Два отрицательных числа участвуют в действиях, и итоговый знак будет положительным: при первом умножении получается отрицательное число, а при делении отрицательного на отрицательное — положительное.

1. Сначала умножаем дроби: (−2/3) · 9/4 = −18/12 = −3/2.
2. Делим полученное число на −3/2: (−3/2) : (−3/2) = (−3/2) · (−2/3).
3. Перемножаем модули дробей: 3/2 · 2/3 = 1; одинаковые знаки дают плюс.

Ответ: 1. В записи решения важно соблюдать порядок слева направо, не меняя местами действия без основания. Отдельная проверка знака помогает заметить ошибку, даже если дроби сокращены верно.

Типичные ошибки

При разных знаках множителей или делимого и делителя иногда ставят плюс, путая эти действия со сложением чисел. Но правила сложения и умножения различаются: например, при умножении +3 на −2 результат отрицательный. Сначала определяй знаки именно по правилу умножения или деления, а не переноси сюда способ сложения. Проверка: мысленно умножь модули и отдельно поставь знак.

Некоторые считают, что два отрицательных числа обязательно дают отрицательный результат, потому что замечают только один знак минус. При умножении двух отрицательных чисел произведение положительно, как и частное отрицательного на отрицательное. Перед вычислением посчитай знаки: одинаковые дают плюс, разные — минус. Проверить ответ при делении можно обратным умножением.

Знак частного бывает выбран неверно, если ученик вычисляет только модули и не проверяет связь деления с умножением. Например, положительное делимое при отрицательном делителе требует отрицательного частного: отрицательное число на отрицательное даст положительное, а здесь произведение должно быть положительным. Для проверки умножь найденное частное на делитель и сравни результат с делимым. Если не совпал знак, вернись к правилу знаков.

Попытка разделить число на ноль возникает, когда деление считают возможным для любых чисел. Однако частное должно при умножении на делитель дать делимое, а любое число, умноженное на 0, даёт 0. Поэтому ненулевое делимое получить нельзя, а при нулевом делимом единственного ответа нет. Перед делением всегда проверяй, что делитель не равен нулю.

Связь с другими темами

Для работы с положительными и отрицательными числами нужны понятия модуля и противоположных чисел: модуль помогает вычислить величину результата, не отвлекаясь на знак. Также понадобятся навыки умножения и деления натуральных чисел, десятичных и обыкновенных дробей. Правила знаков применяются при вычислении числовых выражений и решении уравнений, а затем помогают выполнять действия с рациональными числами. Умение проверять деление умножением пригодится во всех этих темах.

Что запомнить

• Модули чисел перемножают или делят по обычным правилам.
• Одинаковые знаки при умножении дают положительный результат.
• Разные знаки при умножении дают отрицательный результат.
• При делении действуют те же правила знаков, что и при умножении.
• Ноль, умноженный на любое число, равен нулю.
• На ноль делить нельзя.
• Деление можно проверить умножением.