2.54. Периметр квадрата и прямоугольника

Определения и обозначения

Периметр — длина замкнутой границы фигуры. Чтобы его найти, складывают длины всех сторон. Это число показывает, сколько нужно пройти вдоль края фигуры или материала потребуется для её окантовки.

Периметр квадрата — сумма длин четырёх равных сторон квадрата. Если сторону обозначить буквой a, запись будет такой: P = 4a. Формула удобна тем, что вместо четырёх одинаковых слагаемых достаточно выполнить одно умножение.

Периметр прямоугольника — сумма длин всех его сторон. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому длина и ширина встречаются в сумме по два раза. Это позволяет сократить вычисления и получить формулу P = 2(a + b).

Буквой P обозначают периметр, а буквами a и b — длины сторон. Перед сложением или умножением все длины нужно выразить в одинаковых единицах, например только в сантиметрах. Сам периметр записывают в единицах длины.

Как это устроено

Представь, что нужно обойти фигуру по самому краю и вернуться в исходную точку. Длина такого обхода складывается из отдельных участков, каждый из которых является стороной фигуры. Поэтому периметр находят сложением длин всех сторон, а не только тех, которые видны сверху или снизу.

У квадрата четыре стороны одинаковой длины. Если каждая сторона равна a, то обход состоит из четырёх одинаковых отрезков: a + a + a + a. Повторяющееся сложение заменяют умножением, поэтому получают P = 4a.

У прямоугольника соседние стороны могут быть разными, но противоположные стороны равны: длина повторяется дважды и ширина тоже дважды. Поэтому начальная сумма имеет вид a + b + a + b. Можно объединить равные слагаемые и записать её как 2a + 2b, а затем вынести общий множитель: P = 2(a + b).

Формулы позволяют находить не только периметр, но и неизвестную сторону. Для квадрата из равенства P = 4a получают a = P : 4. Для прямоугольника сначала делят равенство P = 2(a + b) на 2, получают a + b = P : 2, а затем вычитают известную сторону.

Одинаковые единицы необходимы потому, что складывать можно только величины одного вида и масштаба. Например, 2 м и 30 см сначала переводят в 200 см и 30 см или в 2 м и 0,3 м. После этого вычисление даёт правильный числовой результат и понятную единицу ответа.

Периметр квадрата и прямоугольника

В таблице сначала определи вид фигуры и известные стороны. Затем выбери соответствующую формулу и проверь, что все величины записаны в одной единице измерения. Строка о неизвестной стороне помогает выполнять обратные вычисления.

Если у прямоугольника даны две соседние стороны, их сумму умножают на 2. Если дан только периметр, сначала находят полупериметр, то есть P : 2.

Разбор задач

Задача 1. Найти периметр квадрата со стороной 6 см. Все стороны квадрата равны, поэтому достаточно знать длину одной стороны. Используем формулу P = 4a.

1. Записываем длину стороны: a = 6 см.
2. Подставляем значение в формулу: P = 4 · 6 см.
3. Выполняем умножение: P = 24 см.

Ответ: периметр квадрата равен 24 см. Единица ответа остаётся единицей длины, потому что периметр измеряет длину границы.

Задача 2. Найти периметр прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Эти стороны соседние, а противоположные им стороны имеют такие же длины. Поэтому можно сложить длину и ширину и удвоить результат.

1. Записываем значения: a = 8 см, b = 5 см.
2. Находим сумму соседних сторон: a + b = 8 + 5 = 13 см.
3. Удваиваем сумму: P = 2 · 13 = 26 см.

Ответ: периметр прямоугольника равен 26 см. Проверка сложением всех сторон даёт тот же результат: 8 + 5 + 8 + 5 = 26 см.

Задача 3. Периметр прямоугольника равен 34 см, одна сторона — 10 см. Нужно найти другую сторону, поэтому сначала восстановим сумму двух соседних сторон. Для этого используем половину периметра.

1. Находим полупериметр: 34 : 2 = 17 см.
2. Вычитаем известную сторону: 17 − 10 = 7 см.
3. Проверяем результат: 2 · (10 + 7) = 34 см.

Ответ: другая сторона прямоугольника равна 7 см. Проверка подтверждает, что найденная длина подходит к условию.

Типичные ошибки

Иногда складывают только две стороны прямоугольника и называют результатом периметр. Так находят лишь полупериметр, потому что каждая сторона прямоугольника встречается в обходе дважды. Проверь себя: запиши все четыре стороны или умножь сумму соседних сторон на 2.

Формулу P = 4a ошибочно применяют к любому прямоугольнику. Такая запись верна для квадрата, где все стороны одинаковы, а у прямоугольника длина и ширина могут различаться. Сравни данные стороны: если соседние стороны не равны, используй P = 2(a + b).

Другая ошибка — умножение суммы сторон прямоугольника на 4. Каждая длина повторяется не четыре, а два раза: две стороны имеют длину a и две — длину b. Запись a + b + a + b помогает увидеть правильный множитель 2.

Нельзя складывать, например, 2 м и 30 см без перевода единиц. Число 2 здесь не означает 2 см, поэтому результат будет неверным. Перед вычислением подчеркни единицы у всех сторон и переведи их к одной мере.

Связь с другими темами

Для решения задач на периметр нужно уметь измерять и сравнивать длины отрезков. Также пригодятся сложение величин и перевод сантиметров в миллиметры или метры. Эти навыки помогают правильно подготовить данные к формуле.

Периметр встречается в практических задачах о длине ограждения, окантовки или маршрута вдоль границы участка. Геометрическая формула превращает описание ситуации в короткое вычисление. Поэтому полезно мысленно представить путь вокруг фигуры.

Формулы периметра нужны и в обратных задачах. По ним находят неизвестные стороны, составляют выражения и решают уравнения. Такой переход от формулы к неизвестной величине станет основой дальнейшей работы с геометрическими задачами.

Что запомнить

• Периметр — сумма длин всех сторон фигуры.
• Периметр квадрата со стороной a: P = 4a.
• У прямоугольника противоположные стороны равны.
• Периметр прямоугольника со сторонами a и b: P = 2(a + b).
• Чтобы найти неизвестную сторону по периметру прямоугольника, сначала раздели периметр на 2.
• Перед вычислением приведи все длины к одинаковым единицам.