2.53. Таблица умножения и деления на 5

Определения и обозначения

Умножение на 5 — действие, при котором число 5 берут слагаемым указанное количество раз. Например, 5 × 3 означает 5 + 5 + 5. Такое представление помогает понять, откуда берётся произведение, и заменять сложение одинаковых слагаемых более короткой записью.

Множители — числа, которые перемножают; в записи 5 × 4 числа 5 и 4 являются множителями. Первый множитель показывает, какое число берут, а второй — сколько раз его повторяют. Это различие пригодится, чтобы правильно читать выражение и находить нужную строку таблицы.

Произведение — результат умножения; например, в записи 5 × 4 = 20 произведение равно 20. Число 20 отвечает на вопрос, сколько получится всего, если взять четыре пятёрки. Понимание этого термина помогает отличать результат действия от чисел, которые в нём участвуют.

Деление на 5 — действие, обратное умножению: оно помогает узнать, сколько раз число 5 содержится в делимом. Например, в 30 : 5 нужно выяснить, сколько пятёрок составляют 30. Знание смысла деления помогает связать его с таблицей умножения и проверить ответ.

Как это устроено

Таблицу умножения на 5 удобно составлять последовательным прибавлением 5. Если известен результат 5 × 3 = 15, то для следующего результата нужно добавить ещё одну пятёрку: 15 + 5 = 20, значит, 5 × 4 = 20. Так происходит потому, что второй множитель каждый раз увеличивается на единицу и появляется ещё одно слагаемое 5.

Результаты умножения на 5 заканчиваются на 0 или 5. При умножении на чётное число пятёрку можно объединить в пары: каждая пара даёт 10, поэтому итог оканчивается на 0. Если множитель нечётный, после составления пар остаётся ещё одна пятёрка, и результат оканчивается на 5. Эта закономерность помогает быстро проверить, похож ли ответ на верный.

Если множители поменять местами, произведение не изменится: например, 5 × 4 и 4 × 5 равны 20. Это можно представить как четыре группы по пять предметов или пять групп по четыре предмета: общее количество остаётся тем же. Поэтому таблицу умножения на 5 можно применять и тогда, когда первым записано другое число, например 7 × 5.

Таблица деления на 5 получается из таблицы умножения. Если 5 × 6 = 30, то 30 : 5 = 6, потому что деление отвечает на вопрос, какой множитель нужно поставить рядом с 5, чтобы получить 30. Достаточно найти делимое среди произведений таблицы и посмотреть на соответствующий множитель.

Умножение и деление проверяют друг друга. При делении делимое разделяют на равные части или группы, а умножением восстанавливают исходное количество: частное × делитель должно равняться делимому. Например, для 40 : 5 = 8 проверка выглядит так: 8 × 5 = 40. Если произведение не совпало с делимым, нужно перепроверить вычисление.

Умножение и деление на 5

Чтобы найти произведение, выбери в первом столбце нужное число и посмотри запись во втором. Для деления найди делимое в столбце умножения, а затем используй соответствующую запись в третьем столбце. Например, строка 8 показывает, что 5 × 8 = 40 и 40 : 5 = 8.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли 5 × 3. Нужно взять число 5 три раза, поэтому можно воспользоваться таблицей или сложением одинаковых слагаемых. При сложении пятёрок получится 10, а после добавления ещё одной пятёрки — 15. Это и есть общее количество.

1. Запишем умножение как сложение: 5 × 3 = 5 + 5 + 5.
2. Сложим первые две пятёрки: 5 + 5 = 10.
3. Прибавим третью пятёрку: 10 + 5 = 15.

Ответ: 15. Можно свериться с таблицей: в строке числа 3 записано 5 × 3 = 15. Такой способ особенно удобен, если нужно быстро вычислить произведение, а таблица уже знакома.

Задача 2. Вычисли 40 : 5 и проверь результат. Деление спрашивает, сколько раз число 5 содержится в 40. Ищем в таблице произведение 40: оно получается при умножении 5 на 8. Чтобы убедиться в ответе, вернёмся от деления к умножению.

1. Найдём произведение с множителем 5, равное 40: 5 × 8 = 40.
2. Значит, в 40 содержится восемь пятёрок и 40 : 5 = 8.
3. Проверим: частное умножим на делитель, 8 × 5 = 40.

Ответ: 8. Проверка дала исходное число, значит, вычисление выполнено правильно. Если при проверке произведение получилось бы не 40, нужно было бы ещё раз найти частное.

Задача 3. В 6 коробках лежит по 5 карандашей. Сколько карандашей в коробках? Сколько таких коробок можно собрать из 30 карандашей? Сначала известно число коробок и количество карандашей в каждой, поэтому ищем общее количество умножением. Во второй части дано общее количество и размер одной группы, а неизвестно число групп — это задача на деление. Оба действия связаны, поэтому ответ на второй вопрос должен возвращать нас к первому.

1. Найдём общее количество: 5 × 6 = 30 карандашей.
2. Разделим 30 карандашей на группы по 5: 30 : 5 = 6 коробок.
3. Проверим деление умножением: 6 × 5 = 30.

Ответ: 30 карандашей; из них можно собрать 6 таких коробок. Первая запись находит количество предметов в равных группах, а вторая — число групп. Проверка показывает, что обе записи описывают одну и ту же ситуацию.

Типичные ошибки

Иногда множители путают с произведением: например, в записи 5 × 4 = 20 называют 20 множителем. Так происходит, если не различать числа до знака равенства и результат действия. Чтобы проверить себя, назови множители — это 5 и 4, а полученное число 20 — произведение.

При делении на 5 можно ошибочно искать число, которое нужно умножить на делимое. Но нужно найти такой множитель, который вместе с 5 даст делимое: в 35 : 5 это число 7, потому что 5 × 7 = 35. Проверка частного умножением на делитель быстро обнаружит ошибку, если произведение не совпало с делимым.

Ещё одна ошибка — считать, что любое произведение на 5 оканчивается на 0. Такое ожидание подходит для чётного множителя, но при нечётном, например 3, получается 15, а не число с нулём в конце. Проверь чётность множителя и вспомни: с чётным числом результат заканчивается на 0, с нечётным — на 5.

В задачах с равными группами путают число групп и количество предметов в каждой группе. Например, в задаче про коробки число 6 обозначает коробки, а число 5 — карандаши в одной коробке. Перед вычислением отметь, что уже известно и что требуется найти: общее количество находят умножением, а число групп — делением.

Связь с другими темами

Чтобы освоить умножение на 5, полезно уметь считать пятёрками и понимать умножение как сложение одинаковых слагаемых. Тогда таблица складывается из уже знакомых чисел: 5, 10, 15 и далее. Связь умножения с делением поможет изучать таблицы на другие числа, потому что их тоже можно читать в обе стороны.

Таблица на 5 применяется в задачах на равные группы: по числу групп и предметов в каждой находят общее количество, а по общему количеству и размеру группы — число групп. Она также позволяет проверить деление умножением. Этот способ рассуждения пригодится и в задачах с другими делителями.

Что запомнить

• При умножении на 5 число 5 берут слагаемым нужное количество раз.
• Произведение при умножении на 5 оканчивается на 0 или 5.
• При перестановке множителей произведение не меняется.
• Деление на 5 — действие, обратное умножению на 5.
• Если 5 × n = a, то a : 5 = n.
• Деление можно проверить умножением: частное × делитель = делимое.