"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Деление помогает узнать, сколько равных частей получится или сколько предметов будет в каждой группе. Оно связано с умножением: разделить число — значит по произведению и одному множителю найти другой. Поэтому частное можно вычислить подбором неизвестного множителя, а результат проверить умножением. Знание этой связи пригодится при решении задач и уравнений, а также при изучении дробей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель. Например, если известно, что 6 · 4 = 24, то из 24 и 6 можно найти число 4: 24 : 6 = 4. Деление нужно, когда требуется разделить предметы поровну или восстановить неизвестный множитель.
Делимое — число, которое делят; его находят как произведение делителя и частного. В записи 24 : 6 = 4 делимое — 24, потому что именно это число разделили на части. Зная делитель и частное, делимое можно восстановить умножением: 6 · 4 = 24.
Делитель — число, на которое делят; он показывает, на сколько равных частей делят делимое или сколько предметов кладут в каждую группу. В примере 24 : 6 = 4 делитель — 6. Он задаёт условие деления, поэтому его нельзя путать с делимым.
Частное — результат деления; это число, которое при умножении на делитель даёт делимое. В равенстве 24 : 6 = 4 частное равно 4. По нему можно понять, сколько получилось равных групп или сколько предметов оказалось в каждой группе — в зависимости от условия задачи.
Деление можно понимать как разбиение предметов на равные части. Если 12 конфет разделить поровну между 3 детьми, каждый получит 4 конфеты, то есть 12 : 3 = 4. Число 3 здесь показывает, на сколько равных частей делят общее количество. Можно поставить и другой вопрос: сколько групп по 3 конфеты получится из 12; ответ снова будет 4, поэтому деление также связано с распределением по заданному размеру группы.
Связь с умножением помогает находить частное, когда деление не удаётся выполнить сразу. Чтобы вычислить a : b, нужно найти такое число, чтобы b · ? = a. Например, для 35 : 5 ищем, сколько раз число 5 содержится в 35: поскольку 5 · 7 = 35, частное равно 7. Такой способ опирается на знакомые произведения и особенно удобен при использовании таблицы умножения.
Умножение служит проверкой деления, потому что деление восстанавливает множитель, а умножение возвращает исходное произведение. После записи a : b = c нужно вычислить c · b и сравнить ответ с a. Если числа совпали, частное подходит; если нет, значит, в вычислении или подборе допущена ошибка. Например, для 35 : 5 = 7 проверяем: 7 · 5 = 35.
На ноль делить нельзя: если попытаться найти a : 0 при a ≠ 0, получится вопрос, какое число при умножении на 0 даёт a. Но любое число, умноженное на 0, равно 0, поэтому такого числа нет. Иначе обстоит дело с делением нуля на ненулевое число: 0 : b = 0 при b ≠ 0, потому что b · 0 = 0. При делении единицы на число, отличное от нуля, получают обратное число: например, 1 : 5 = 1/5, так как 5 · 1/5 = 1.
| Элемент записи | Обозначение | Связь с умножением |
|---|---|---|
| Делимое | a | a = b · c |
| Делитель | b, b ≠ 0 | b · c = a |
| Частное | c = a : b | c · b = a |
| Проверка результата | a : b = c | c · b должно быть равно a |
В таблице запись a : b = c означает, что делимое a разделили на делитель b и получили частное c. Чтобы восстановить любой из элементов, пользуйся равенством a = b · c. Для проверки подставь найденные числа и вычисли произведение частного на делитель.
Задача 1. Вычислите 24 : 6 и проверьте результат умножением. Нужно найти число, которое при умножении на 6 даст 24. Сравним произведения из таблицы умножения: 6 · 4 = 24, значит, искомый множитель — 4.
Ответ: 4.
Задача 2. В коробки разложили поровну 35 карандашей, по 5 карандашей в каждую. Сколько коробок понадобилось? Здесь известно количество карандашей в одной коробке, а требуется узнать число коробок. Значит, 35 предметов нужно разделить на группы по 5.
Ответ: понадобилось 7 коробок.
Задача 3. Известно, что 8 · 7 = 56. Составьте два равенства на деление и объясните связь с исходным равенством. В произведении 56 известны оба множителя. Если разделить произведение на один множитель, получится другой — поэтому можно составить две записи.
Ответ: 56 : 8 = 7 и 56 : 7 = 8. Оба равенства получены из 8 · 7 = 56: делимое — произведение, а делитель и частное — множители.
Иногда в записи 24 : 6 числа меняют местами и получают 6 : 24. Это происходит, если забыть, что делимое — число, которое делят, а делитель указывает, на что делят. Перед вычислением прочитай запись словами: «24 разделить на 6». Для проверки обозначь роли чисел и убедись, что первым стоит делимое.
Деление ошибочно считают перестановочным действием и полагают, что a : b = b : a. Такое заблуждение возникает из-за того, что множители в произведении действительно можно переставлять, а на деление это свойство не распространяется. Например, 24 : 6 = 4, но 6 : 24 — другое действие. Проверка умножением показывает, что переставленное выражение не даёт прежнего частного.
Некоторые проверяют деление сложением или делят делитель на частное. Так делают, когда забывают, какое действие возвращает произведение делителя и частного. Правильная проверка — умножить частное на делитель и сравнить ответ с делимым. Например, для 24 : 6 = 4 проверка имеет вид 4 · 6 = 24.
Нельзя пытаться выполнить деление на ноль, применяя правила для ненулевого делителя. Ошибка появляется, если не проверить, существует ли число, которое нужно получить: при делении на ноль оно должно было бы дать исходное делимое после умножения на 0. Но любое такое произведение равно 0, поэтому для ненулевого делимого решения нет. Чтобы себя проверить, сначала убедись, что делитель не равен нулю.
Для деления полезно знать таблицу умножения: она помогает быстро подобрать неизвестный множитель и найти частное. Нужно также помнить, что множители можно менять местами, не меняя произведения, — это иногда упрощает проверку. Деление встречается в уравнениях, где неизвестен множитель, и в задачах на равные группы. Позже эта связь поможет понимать дроби и вычисления с ними.
Как по умножению найти частное?
Нужно представить деление как поиск неизвестного множителя. Например, для 42 : 6 подбираем число, которое при умножении на 6 даёт 42: это 7. Значит, 42 : 6 = 7.
Почему деление считают действием, обратным умножению?
При умножении по двум множителям находят произведение, а при делении по произведению и одному множителю находят другой. Например, из равенства 8 · 7 = 56 получаем 56 : 8 = 7. Эти действия позволяют проверить друг друга.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножьте частное на делитель. Если получилось делимое, деление выполнено верно. Например, проверка для 24 : 6 = 4: 4 · 6 = 24.
Можно ли менять местами делимое и делитель?
Нет, деление не обладает свойством перестановки чисел. Например, 24 : 6 = 4, а 6 : 24 не равно 4. При перестановке меняется задача, которую выражает запись.
Почему нельзя делить на ноль?
При делении a : 0 пришлось бы найти число, произведение которого на 0 равно a. Но произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому при a ≠ 0 такого числа нет. Деление на ноль не определено.
2.43. Деление. Связь умножения и деления
