§ 5. Чётные и нечётные числа

Определения и обозначения

Чётное число — натуральное число, которое делится на 2 без остатка. Например, 8 : 2 = 4, поэтому 8 — чётное число; так же можно проверить 26 или 100. Это определение помогает понять, получится ли разделить предметы на две равные группы без остатка.

Нечётное число — натуральное число, которое при делении на 2 даёт остаток 1. Например, 7 : 2 = 3 и остаток 1, а 15 : 2 = 7 и остаток 1. Так можно узнать, что при распределении такого количества предметов поровну между двумя людьми один предмет останется.

Делимость на 2 — возможность разделить число на 2 без остатка. Например, 12 делится на 2, потому что 12 : 2 = 6, а 13 без остатка на 2 не делится. Это понятие лежит в основе определения чётного числа: натуральное число чётное именно тогда, когда оно делится на 2.

Признак чётности — правило, позволяющее определить чётность числа по его записи, не выполняя деление. Например, если число оканчивается на 6, то оно чётное, а если на 9 — нечётное. Признак помогает быстро проверить даже большое число и не тратить время на деление.

Как это устроено

При делении натурального числа на 2 возможны только остатки 0 и 1. Остаток не может быть равен 2 или больше, потому что тогда из числа можно было бы выделить ещё одну полную двойку. Если остаток 0, число делится на 2 без остатка; если остаток 1, оно нечётное. Поэтому каждое натуральное число относится к одной из этих двух групп.

Чётность можно определить по последней цифре записи: цифры 0, 2, 4, 6 и 8 чётные, а 1, 3, 5, 7 и 9 нечётные. Это работает потому, что при делении самой цифры на 2 остаток будет 0 или 1. Например, 4 делится на 2, а 5 при делении на 2 оставляет остаток 1. Последняя цифра тем самым показывает остаток всего числа.

У многозначного числа достаточно проверить последнюю цифру, потому что все остальные разряды составляют число, кратное 10. Например, в числе 347 цифры 3 и 4 дают 340, а 340 делится на 2 без остатка. Остаётся проверить единицы: 7 при делении на 2 даёт остаток 1. Поэтому 347 — нечётное число, и значения предыдущих цифр этого не меняют.

В натуральном ряду чётные и нечётные числа чередуются: после чётного числа идёт нечётное, а за ним — чётное. Причина в том, что каждое следующее число получается прибавлением 1. Если к числу, делящемуся на 2, прибавить 1, получится остаток 1; если прибавить 1 к нечётному, получится следующая полная двойка. Например, числа 18, 19 и 20 идут в порядке «чётное, нечётное, чётное».

Чётность суммы зависит от того, какие числа складывают. Два чётных числа можно записать как суммы целых двоек, поэтому и их сумма делится на 2 без остатка. Два нечётных числа состоят из целых двоек и ещё по одной единице; две единицы вместе образуют двойку, так что сумма тоже чётная. Если одно число чётное, а другое нечётное, одна лишняя единица остаётся, и сумма нечётная.

Как определить чётность натурального числа

Сначала можно проверить последнюю цифру — это самый быстрый способ. Если нужно объяснить ответ через определение, укажи остаток при делении на 2. Примеры в последней строке помогут сверить оба способа.

Разбор задач

Задача 1. Определите, какие из чисел 37, 124 и 805 чётные, а какие нечётные. Делить каждое число столбиком не требуется: признак чётности позволяет определить ответ по одной цифре. Найдём у каждого числа цифру единиц и сравним её с правилом.

1. В числе 37 последняя цифра 7. Она нечётная, значит, число 37 нечётное.
2. В числе 124 последняя цифра 4. Она чётная, значит, число 124 чётное.
3. В числе 805 последняя цифра 5. Она нечётная, поэтому 805 нечётное.

Ответ: 37 и 805 — нечётные числа, 124 — чётное. Проверять первую цифру или складывать цифры числа не нужно. Достаточно найти цифру в разряде единиц.

Задача 2. Из цифр 2, 5 и 8 составьте наибольшее трёхзначное чётное число, используя каждую цифру один раз. Чтобы число было чётным, его последняя цифра должна быть 2 или 8. После выбора последней цифры оставшиеся две нужно поставить в порядке от большей к меньшей.

1. Если в конце поставить 2, оставшиеся цифры 8 и 5 дают наибольшее число 852.
2. Если в конце поставить 8, оставшиеся цифры 5 и 2 дадут число 528.
3. Сравним результаты: 852 больше 528, поэтому выбираем первый вариант.

Ответ: наибольшее подходящее число — 852. Его последняя цифра 2, значит, число чётное. Все три заданные цифры использованы по одному разу.

Задача 3. В коробке лежит несколько карандашей. Если разложить их поровну между двумя учениками, один карандаш останется. Может ли число карандашей быть 38, 41 или 56? Один оставшийся карандаш означает, что при делении числа на 2 остаток равен 1. Значит, нужно проверить, какое из чисел нечётное.

1. Число 38 оканчивается на 8, поэтому оно чётное и при делении на 2 остатка не даст.
2. Число 41 оканчивается на 1, поэтому оно нечётное и даёт остаток 1.
3. Число 56 оканчивается на 6, поэтому оно чётное и делится на 2 без остатка.

Ответ: такое количество карандашей может быть равным 41. Числа 38 и 56 не подходят, потому что их можно разделить поровну. Проверка основана на условии задачи: должен остаться ровно один карандаш.

Типичные ошибки

Ошибка — определять чётность многозначного числа по первой цифре. Например, первая цифра числа 314 чётная, но само число нечётное, потому что заканчивается на 4? Проверка показывает обратное: 314 оканчивается на 4 и является чётным; надёжный способ — смотреть именно на последнюю цифру. Первая цифра показывает сотни или тысячи, а не остаток при делении на 2.

Иногда забывают, что цифра 0 считается чётной, и считают число с нулём в конце нечётным. Но ноль делится на 2 без остатка, а число, оканчивающееся на 0, тоже делится на 2 без остатка. Например, 70 : 2 = 35. Для самопроверки включай 0 в список чётных цифр.

Не следует определять чётность числа по чётности суммы его цифр. Например, в числе 23 сумма цифр равна 5, но число 23 нечётное не из-за этой суммы, а потому что оканчивается на 3. Признак чётности относится только к последней цифре записи. Проверить себя можно, посмотрев на разряд единиц.

Ещё одна ошибка — считать, что сумма двух нечётных чисел нечётна. Например, 5 + 7 = 12, и 12 делится на 2 без остатка, поэтому сумма чётная. Это происходит потому, что две единицы, остающиеся при делении двух нечётных чисел, вместе образуют двойку. Проверяй результат сложения по последней цифре или делением на 2.

Связь с другими темами

Для изучения чётности нужно уметь делить натуральные числа с остатком и понимать, что значит разделить число без остатка. Остаток показывает, сколько предметов останется после составления полных групп по два. Если остаток равен нулю, число чётное; если осталась одна единица — нечётное.

Представление числа по разрядам объясняет, почему чётность зависит от единиц. Разряды десятков, сотен и тысяч дают числа, кратные 10, а каждое такое число делится на 2. Поэтому для определения чётности достаточно проверить последнюю цифру.

Правило пригодится при изучении делимости и других признаков делимости, а также в задачах на распределение предметов поровну. Например, чётное количество карандашей можно разделить между двумя учениками без остатка. Нечётное количество оставит один карандаш.

Что запомнить

• Чётное число делится на 2 без остатка.
• При делении нечётного числа на 2 остаток равен 1.
• Чётные числа оканчиваются цифрами 0, 2, 4, 6 или 8.
• Нечётные числа оканчиваются цифрами 1, 3, 5, 7 или 9.
• В натуральном ряду чётные и нечётные числа чередуются.
• Сумма двух чисел одинаковой чётности чётна, а чисел разной чётности — нечётна.