§ 6. Запись чисел в недесятичной системе счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записывать числа с помощью определённых знаков и правил. Одно и то же количество можно обозначить по-разному: например, десять записывают как 10₁₀ или 1010₂. Это понятие нужно, чтобы понимать, почему записи чисел зависят от выбранных правил.

Основание системы счисления — число, которое определяет, сколько разных цифр используется и во сколько раз меняется значение разряда. В системе с основанием 5 есть пять цифр, а соседние разряды отличаются в пять раз. Основание помогает установить порядок всей записи.

Цифра — знак, которым записывают число; в системе с основанием b используют цифры от 0 до b − 1. Поэтому в двоичной системе есть 0 и 1, а в пятеричной — 0, 1, 2, 3 и 4. Это правило позволяет сразу проверять, допустима ли запись.

Позиционная запись числа — запись, в которой значение цифры зависит от её места. Одна и та же цифра 3 означает единицы, десятки или сотни в зависимости от разряда. Благодаря этому небольшим набором цифр можно записывать сколь угодно большие числа.

Как это устроено

В позиционной системе основание задаёт набор допустимых цифр: например, в системе с основанием 5 это 0, 1, 2, 3 и 4. Цифра 5 там уже означает переход к следующему разряду, поэтому отдельно использовать её нельзя. Такое правило сохраняет однозначность записи: каждая позиция имеет только разрешённый знак.

Значения разрядов связаны с основанием: справа налево идут разряды единиц, основания, его квадрата и следующих степеней. Нулевой разряд равен b⁰ = 1, следующий — b¹ = b, затем b² и так далее. Каждый новый разряд получается умножением предыдущего на основание, потому что в нём помещается b групп предыдущего разряда.

Число в недесятичной системе можно представить как сумму произведений цифр на значения их разрядов. Например, запись 132₅ означает 1·5² + 3·5¹ + 2·5⁰. Это разложение показывает настоящий вклад каждой цифры, а не только её внешний вид.

Чтобы перевести запись числа в десятичную систему, умножьте каждую цифру на значение её разряда и сложите результаты. Сначала удобно подписать под цифрами степени основания, начиная справа с нулевой. Например, 210₃ = 2·3² + 1·3¹ + 0·3⁰ = 18 + 3 = 21.

Чтобы записать десятичное число в системе с заданным основанием, его можно разложить по степеням основания или последовательно делить на основание. При делении остаток показывает цифру младшего ещё не записанного разряда, а частное используется дальше. Когда частное станет нулём, остатки читают в обратном порядке: последний полученный остаток становится первой цифрой.

Цифры и разряды в позиционных системах счисления

В таблице значения разрядов указаны справа налево: первое число относится к единицам, второе — к следующему разряду. Сначала проверьте по второй колонке, разрешены ли все цифры записи. Затем используйте третью колонку, чтобы разложить число на произведения цифр и разрядов.

Разбор задач

Запишите число 13 в системе счисления с основанием 2.

В двоичной системе нужны только цифры 0 и 1, поэтому число будем получать делением на 2. Каждый остаток станет одной цифрой будущей записи, начиная с младшего разряда. Последовательные деления дают такой порядок действий:

1. 13 : 2 = 6, остаток 1.
2. 6 : 2 = 3, остаток 0.
3. 3 : 2 = 1, остаток 1.
4. 1 : 2 = 0, остаток 1.
5. Читаем остатки снизу вверх: 1, 1, 0, 1.

Ответ: 13₁₀ = 1101₂. Проверка: 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Переведите число 1011₂ в десятичную систему.

Справа налево подпишем под цифрами степени основания 2: 2⁰, 2¹, 2² и 2³. Затем каждую цифру умножим на значение своего разряда. Нули ничего не добавляют к сумме, но пропускать их разряды нельзя.

1. Разложим запись: 1011₂ = 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰.
2. Вычислим степени: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1.
3. Сложим произведения: 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

Ответ: 1011₂ = 11₁₀. Обратная проверка показывает, что 11 при делении на 2 даёт остатки 1, 1, 0, 1, которые снизу вверх образуют 1011.

Переведите число 42₁₀ в систему с основанием 5 и проверьте результат.

Будем делить 42 на 5, потому что остаток при таком делении показывает цифру разряда единиц в пятеричной записи. Затем повторим деление с полученным частным. Остатки прочитаем от последнего к первому и после этого проверим результат разложением по степеням 5.

1. 42 : 5 = 8, остаток 2.
2. 8 : 5 = 1, остаток 3.
3. 1 : 5 = 0, остаток 1.
4. Читаем остатки снизу вверх: 132.
5. Проверяем: 132₅ = 1·5² + 3·5¹ + 2·5⁰ = 25 + 15 + 2 = 42.

Ответ: 42₁₀ = 132₅. Проверка совпала с исходным числом, значит, перевод выполнен правильно.

Типичные ошибки

Иногда используют цифру, которая не входит в систему, например 2 в двоичной записи. Так происходит, если забывают, что основание 2 разрешает только 0 и 1. Проверьте каждую цифру: она должна быть меньше основания.

Другая ошибка — считать, что цифра сама определяет значение разряда. Цифра 4 может обозначать четыре единицы или четыре десятка, потому что её место меняет значение. Для проверки подпишите под записью значения разрядов.

При переводе в десятичную систему можно умножить цифры не на те степени основания. Часто начинают отсчёт слева, хотя нулевая степень всегда находится справа. Пересчитайте позиции справа налево: 0, 1, 2 и так далее.

При переводе делением остатки иногда записывают в прямом порядке. Первый остаток относится к единицам, поэтому он должен оказаться справа, а не слева. Проверьте себя обратным разложением полученной записи по степеням основания.

Связь с другими темами

До изучения этой темы нужно понимать позиционное значение цифр в десятичной записи. Также пригодится умение вычислять степени натуральных чисел, например 5² = 25 и 2³ = 8. Эти знания помогают быстро находить значения разрядов.

Недесятичные системы особенно пригодятся при изучении двоичной записи данных. Они также нужны для выполнения действий с числами, записанными в разных системах, и для перевода результатов из одной системы в другую.

Что запомнить

• Основание системы определяет допустимые цифры и значения разрядов.
• В системе с основанием b используются цифры от 0 до b − 1.
• Значения разрядов справа налево — степени основания, начиная с нулевой.
• Запись числа раскрывается в сумму произведений цифр на значения разрядов.
• При переводе делением остатки читают в обратном порядке.
• Проверить перевод можно, выполнив обратное преобразование.