§ 1. Равенство прямоугольных треугольников

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. На чертеже прямой угол обычно отмечают маленьким квадратиком в его вершине. Такая отметка сразу показывает, какие стороны образуют прямой угол, и помогает не перепутать их с третьей стороной.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Их всегда два: каждый начинается в вершине прямого угла, а второй конец находится в другой вершине. Название этих сторон полезно, когда нужно сравнить прямоугольные треугольники или применить признак их равенства.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она соединяет концы катетов и длиннее каждого из них. Поэтому, чтобы найти гипотенузу на чертеже, сначала нужно увидеть отметку прямого угла, а не просто выбрать сторону, которая кажется самой длинной.

Равными называют прямоугольные треугольники, которые можно совместить наложением так, чтобы они совпали целиком. При таком совмещении совпадают соответствующие стороны и углы. Слово «соответствующие» означает, что элементы занимают одинаковое положение в двух треугольниках, и это нужно учитывать при доказательстве и записи равенства.

Как это устроено

Если соответствующие катеты двух прямоугольных треугольников равны, то равны и углы между ними: каждый такой угол прямой. Значит, у треугольников совпадают две стороны и угол, который они образуют. Если совместить один катет с равным ему катетом, второй катет также ляжет на соответствующий катет, а концы этих сторон совпадут. Поэтому треугольники полностью совместятся.

Равенство гипотенузы и одного катета тоже определяет прямоугольный треугольник. Представь, что равные катеты двух треугольников совместили, а их концы с прямыми углами совпали. Конец гипотенузы должен находиться на заданном расстоянии от другого конца гипотенузы, поэтому он может занять только подходящее положение на перпендикулярной к катету линии. Если второй треугольник расположить с той же стороны от общей стороны, его вершины совпадут с вершинами первого.

Перед применением признака равенства важно определить, какие вершины и стороны соответствуют друг другу. Сначала найди в обоих треугольниках прямые углы: эти вершины соответствуют. Затем определи гипотенузы как стороны напротив прямых углов, а катеты — как стороны, образующие их. Наконец, сопоставь остальные вершины по положению относительно равных сторон; так ты не сравнишь, например, гипотенузу одного треугольника с катетом другого.

Признак формулируют так: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то треугольники равны. Чтобы обосновать вывод, совмести равные катеты, направив треугольники в одну сторону от общей стороны. Концы гипотенуз окажутся на одной прямой, перпендикулярной катету, и будут находиться на одинаковом расстоянии от его общего конца, поскольку гипотенузы равны. Значит, эти концы совпадают, а вместе с ними совпадают все вершины треугольников.

После установления равенства треугольников можно заключить, что равны их соответствующие стороны и углы. Для этого нужно сначала записать треугольники в правильном порядке, например ΔABC = ΔDEF, где A соответствует D, B — E, C — F. Тогда равны AB и DE, BC и EF, AC и DF, а также углы A и D, B и E, C и F. Такой порядок позволяет использовать доказанное равенство для нахождения неизвестных элементов.

Данные для установления равенства прямоугольных треугольников

В таблице «соответствующий» означает элемент, который занимает такое же положение в другом треугольнике. Перед сравнением отметь прямые углы и найди гипотенузы — так проще определить нужные катеты. Если все данные для одной строки совпадают, можно применить указанный признак и заключить, что треугольники равны.

Разбор задач

Задача 1. Два прямоугольных треугольника имеют соответственно равные катеты. Докажите, что треугольники равны. Сначала проверим, какие элементы уже известны: равны обе пары катетов, а углы между катетами в обоих треугольниках прямые. Значит, есть две равные стороны и равный угол между ними.

1. Обозначим соответствующие катеты первого и второго треугольников. По условию каждая пара этих катетов равна.
2. Угол между катетами первого треугольника равен 90°, и угол между катетами второго также равен 90°.
3. Наложим треугольники так, чтобы совпали равные катеты. Вторые катеты тоже совпадут, потому что образуют с первыми одинаковый прямой угол.
4. Все три вершины совпадут, поэтому треугольники равны по двум катетам.

Ответ: треугольники равны по двум катетам и равенству углов между ними.

Задача 2. В двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и один катет. Докажите равенство треугольников и укажите, какие элементы равны. Поскольку речь идёт о прямоугольных треугольниках, у каждого есть прямой угол, а выбранные стороны-катеты и гипотенузы можно определить по их положению. Это как раз данные для признака по гипотенузе и катету.

1. Сопоставим прямые углы; их вершины будут соответствующими.
2. Сопоставим гипотенузы двух треугольников и отметим равные по условию катеты.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету треугольники равны.
4. После этого запишем соответствие вершин в одном порядке. Равны гипотенузы, выбранные катеты, вторые катеты и соответствующие углы.

Ответ: треугольники равны по гипотенузе и катету; все их соответствующие стороны и углы равны.

Задача 3. Треугольники ABC и DEF прямоугольные, угол C и угол F — прямые, AB = DE, AC = DF. Найдите EF, если BC = 7 см. Рассуждение начинаем с расположения сторон: напротив прямых углов C и F лежат AB и DE, значит, это гипотенузы. Стороны AC и DF — катеты, и по условию обе нужные пары сторон равны.

1. Запишем данные: ∠C = ∠F = 90°, AB = DE, AC = DF.
2. Треугольники ABC и DEF равны по гипотенузе и катету.
3. В соответствии с порядком вершин A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F сторона BC соответствует EF.
4. Так как равные треугольники имеют равные соответствующие стороны, EF = BC = 7 см.

Ответ: EF = 7 см.

Типичные ошибки

Ошибка: назвать гипотенузой просто самую длинную сторону, выбранную на глаз. Так делают, когда ориентируются на вид чертежа, хотя он может быть нарисован неточно. Гипотенузу всегда находят по прямому углу: она лежит напротив него. Проверь себя: отметь прямой угол и посмотри на противоположную сторону.

Ошибка: сравнить катеты, не уточнив, какие из них соответствуют друг другу. В двух треугольниках стороны могут быть расположены по-разному, и равенство случайно выбранных сторон не подходит для нужного признака. Сначала сопоставь вершины прямых углов и гипотенузы, затем сравнивай катеты. Для проверки подпиши пары равных сторон одинаковыми отметками.

Ошибка: считать, что равенства одного катета достаточно для равенства прямоугольных треугольников. Два треугольника могут иметь одинаковый один катет, но разные вторые катеты и гипотенузы. Проверь, есть ли ещё данные: равенство второго катета или гипотенузы. Если их нет, признак равенства применить нельзя.

Ошибка: после доказательства равенства приравнять стороны, которые не соответствуют друг другу. Такое случается, если записать вершины треугольников в случайном порядке. Перед выводом о равных сторонах запиши соответствие вершин и сверяй его с буквами в названии треугольников. Например, из ΔABC = ΔDEF следует, что BC соответствует EF, а не любой стороне DEF.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь распознавать прямой угол и виды треугольников, а также обозначать стороны буквами вершин. Эти знания помогают определить катеты и гипотенузу до сравнения фигур. Понятие равных фигур объясняет, что означает совпадение при наложении и почему соответствующие элементы равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников пригодятся в дальнейших геометрических доказательствах. С их помощью можно установить равенство неизвестных сторон и углов, если известны другие элементы. Поэтому важно не только выбрать подходящий признак, но и правильно сопоставить вершины.

Что запомнить

• В прямоугольном треугольнике катеты образуют прямой угол.
• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Прямоугольные треугольники равны, если равны их соответствующие катеты.
• Для равенства прямоугольных треугольников достаточно равенства гипотенузы и одного катета.
• При записи равенства треугольников соблюдай соответствие вершин.
• У равных треугольников равны соответствующие стороны и углы.