§ 2. Некоторые свойства прямоугольника и квадрата

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Например, прямоугольник обозначают ABCD, а его стороны записывают AB, BC, CD и DA. Это определение помогает отличить прямоугольник от других четырёхугольников.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. Если квадрат обозначен ABCD, то AB = BC = CD = DA. Значит, квадрат является частным случаем прямоугольника: у него есть все признаки прямоугольника и дополнительное условие о равенстве сторон.

Диагональ — отрезок, соединяющий две противоположные вершины многоугольника. В прямоугольнике ABCD диагонали — это AC и BD. Диагонали нужны, чтобы сравнивать части фигуры и находить неизвестные длины.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, которые не имеют общей вершины. В ABCD пары противоположных сторон — AB и CD, BC и AD, а AB и BC — соседние стороны. Такое различие позволяет правильно применять свойства прямоугольника.

Как это устроено

Противоположные стороны прямоугольника равны, потому что они лежат на параллельных прямых, а соединяющие их отрезки перпендикулярны этим прямым. Расстояние между параллельными прямыми постоянно, поэтому отрезки AB и CD имеют одинаковую длину, как и BC и AD. Так получаем AB = CD и BC = AD.

Чтобы понять, почему диагонали прямоугольника равны, проведём диагональ AC. Она разделит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. У этих треугольников равны соответствующие катеты, потому что это противоположные стороны прямоугольника, поэтому треугольники совпадают при наложении, а их гипотенузы AC и BD равны.

Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника автоматически. У него четыре прямых угла, противоположные стороны равны, а диагонали равны. Дополнительное условие квадрата состоит в том, что равны не только противоположные, но и все четыре стороны.

Равенство сторон квадрата следует прямо из его определения: AB = BC = CD = DA. Равенство диагоналей получается из свойства прямоугольника, поскольку квадрат является прямоугольником. Поэтому для квадрата можно одновременно использовать свойства равных сторон и свойства равных диагоналей.

Свойства фигур превращают неизвестные длины в известные. Если дана одна сторона прямоугольника, можно найти противоположную, а затем вычислить периметр по формуле P = 2(a + b). Для квадрата достаточно знать одну сторону, ведь P = 4a; если известна одна диагональ, другая имеет такую же длину.

Основные свойства прямоугольника и квадрата

В таблице сначала ищите строку с нужным свойством, а затем смотрите, относится ли оно к вашей фигуре. Если в условии сказано «квадрат», можно пользоваться всеми свойствами из столбца прямоугольника. Если сказано «прямоугольник», нельзя без дополнительных данных утверждать, что все его стороны равны.

Разбор задач

Задача 1

Условие: у прямоугольника ABCD сторона AB равна 8 см, а сторона BC — 5 см. Нужно найти CD, AD и периметр. Обозначения вершин идут по порядку, поэтому AB и CD — противоположные стороны, как и BC и AD.

1. По свойству прямоугольника CD = AB = 8 см.
2. Вторая пара противоположных сторон также равна, поэтому AD = BC = 5 см.
3. Подставим длины в формулу периметра: P = 2(AB + BC) = 2(8 + 5) = 26 см.

Ответ: CD = 8 см, AD = 5 см, периметр равен 26 см. Сначала были найдены неизвестные стороны, а затем использована формула периметра прямоугольника.

Задача 2

Условие: диагональ AC прямоугольника ABCD равна 13 см. Требуется найти диагональ BD. Диагонали прямоугольника соединяют противоположные вершины, поэтому AC и BD образуют пару диагоналей одной фигуры.

1. Вспомним свойство прямоугольника: его диагонали равны.
2. Значит, длина BD такая же, как длина AC.
3. Подставим известное значение: BD = AC = 13 см.

Ответ: BD = 13 см. Никаких дополнительных вычислений не требуется, потому что длина одной диагонали сразу задаёт длину другой.

Задача 3

Условие: периметр квадрата равен 36 см. Нужно найти его сторону и длину каждой диагонали. Диагональ делит квадрат на два равных прямоугольных треугольника с катетами, равными сторонам квадрата.

1. Все стороны квадрата равны, поэтому a = P : 4 = 36 : 4 = 9 см.
2. В получившемся прямоугольном треугольнике катеты равны 9 см, а диагональ является гипотенузой. По теореме Пифагора d² = 9² + 9² = 162, значит d = √162 = 9√2 см.
3. Вторая диагональ имеет такую же длину, потому что диагонали квадрата равны.

Ответ: сторона квадрата равна 9 см, каждая диагональ равна 9√2 см. Если в задаче пока не используют корень, длину диагонали можно оставить в виде √162 см.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Иногда считают, что у прямоугольника все четыре стороны равны, потому что у него есть равные стороны. На самом деле равны только противоположные стороны, а все четыре равны у квадрата. Проверьте себя: если в условии не сказано «квадрат», не заменяйте длины соседних сторон друг на друга.

Ошибка 2. Диагональ путают со стороной или высотой, потому что все они изображаются отрезками. Диагональ соединяет противоположные вершины, а сторона — соседние; высота обычно показывает перпендикулярное расстояние. Проверьте концы отрезка: если у них нет общей вершины, это может быть диагональ.

Ошибка 3. Нельзя утверждать, что диагонали любого четырёхугольника равны. Такое равенство является свойством прямоугольника и квадрата, но не произвольной фигуры. Перед применением свойства назовите вид четырёхугольника и убедитесь, что он подходит.

Ошибка 4. Некоторые забывают, что квадрат является прямоугольником, и используют только равенство его сторон. Из-за этого не применяют равенство диагоналей и прямые углы. Проверьте определение: если у квадрата все углы прямые, ему доступны все свойства прямоугольника.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать виды углов и элементы четырёхугольника: вершины, стороны и диагонали. Также пригодятся понятия параллельных и перпендикулярных прямых, потому что они помогают объяснить свойства прямоугольника.

Свойства сторон позволяют находить периметр и площадь, а также неизвестные элементы фигур. Они встречаются в задачах о разметке, строительстве, планах комнат и других предметах прямоугольной формы.

Позже эти знания понадобятся при изучении треугольников, симметрии и координатной геометрии. Диагонали помогают делить фигуры на треугольники и решать практические задачи.

Что запомнить

• У прямоугольника все углы прямые.
• Противоположные стороны прямоугольника равны.
• Диагонали прямоугольника равны.
• Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами.
• У квадрата все стороны равны.
• Диагонали квадрата равны.
• Все свойства прямоугольника справедливы для квадрата.