"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Последнюю цифру большой степени можно найти, не вычисляя её целиком. Для этого достаточно следить за цифрами в разряде единиц: при возведении числа в степени они часто повторяются в одном и том же порядке. Этот порядок называют циклом последних цифр. Если узнать длину цикла и разделить показатель степени на это число, можно определить нужную цифру даже у 2¹⁰⁰ или 7²⁰²⁵.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Последняя цифра числа — цифра в разряде единиц, то есть цифра справа в записи числа. Например, у числа 347 последняя цифра — 7. Когда спрашивают, на какую цифру оканчивается число, нужно найти именно её, а не вычислять все остальные разряды.
Степень числа — короткая запись произведения одинаковых множителей. Например, 2⁴ означает 2 · 2 · 2 · 2; число 2 называют основанием, а 4 — показателем степени. Такая запись удобна, когда множителей много, как в выражении 2¹⁰⁰.
Цикл последних цифр — это порядок цифр, который повторяется при возведении одного и того же числа в разные степени. Например, у степеней 2 последние цифры идут так: 2, 4, 8, 6, а затем снова 2. Цикл помогает найти нужную цифру, не выписывая огромную степень целиком.
Период цикла — количество шагов, через которое последовательность последних цифр повторяется. У цикла 2, 4, 8, 6 период равен 4, потому что в нём четыре цифры. Зная период, можно определить место большой степени в цикле и выбрать правильный элемент.
При умножении достаточно знать последние цифры множителей, чтобы найти последнюю цифру результата. Например, 23 · 17 оканчивается той же цифрой, что и 3 · 7, то есть 1: остальные цифры дают десятки, сотни и другие разряды, но не меняют разряд единиц. Поэтому при работе со степенями можно отбрасывать всё, кроме последних цифр. Если число оканчивается на 0, его произведение с другим целым числом тоже оканчивается на 0.
Последние цифры степеней 2 находятся последовательным умножением на 2. Первая степень — это 2¹ = 2, значит, первая цифра цикла равна 2; затем получаем 2 · 2 = 4, 4 · 2 = 8, а 8 · 2 = 16, последняя цифра которого — 6. Следующее умножение даёт 6 · 2 = 12, то есть снова 2. Цикл возвращается к началу, потому что для дальнейших шагов важна только цифра единиц.
Чтобы определить последнюю цифру большой степени, сначала находят повторяющийся порядок, а затем место показателя в нём. Например, у 2¹⁰⁰ показатель 100, а цикл имеет четыре элемента. Нет необходимости выписывать сто степеней: достаточно выяснить, сколько полных групп по четыре помещается в 100 и остаётся ли ещё шаг. Так цикл превращает большой расчёт в небольшое деление.
Место в цикле находят, деля показатель на длину цикла и рассматривая остаток. Если остаток равен 1, нужна первая цифра, если 2 — вторая, и так далее; так номер элемента совпадает с числом шагов после полных циклов. Если остаток равен 0, пройдено ровно целое число циклов, поэтому берут последний элемент. Длина цикла зависит от основания: у степеней 5 цифра единиц не меняется, а у степеней 2 повторяются четыре цифры.
В таблице указаны циклы для разных оснований. Под «первыми степенями» понимаются степени с показателями 1, 2, 3 и далее, поэтому первая цифра цикла всегда соответствует основанию в первой степени.
| Основание | Последние цифры первых степеней | Длина цикла | Как определить цифру для показателя n |
|---|---|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 | Разделить n на 4; остаток указывает элемент, 0 — четвёртый |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 | Разделить n на 4; остаток указывает элемент, 0 — четвёртый |
| 4 | 4, 6 | 2 | Разделить n на 2; остаток указывает элемент, 0 — второй |
| 5 | 5 | 1 | Последняя цифра всегда 5 |
| Число, оканчивающееся на 0 | 0 | 1 | Последняя цифра всегда 0 |
Сначала найди в таблице основание или его последнюю цифру, затем используй указанные длину цикла и правило для остатка. Если основание другое, построй цикл тем же способом: умножай последнюю цифру на основание и записывай только цифру единиц.
Здесь требуется не вычислить значение 2¹⁰, а найти только цифру единиц. Для степеней 2 уже можно использовать цикл 2, 4, 8, 6, его длина равна четырём. Теперь нужно определить, на какое место цикла указывает показатель 10.
Ответ: 4. Проверка на первых степенях показывает, что при показателе 2 последняя цифра действительно 4.
Для основания 3 сначала строим порядок цифр, начиная с первой степени. Получаем: 3¹ оканчивается на 3, следующая степень — на 9, затем 7, потом 1. После умножения 1 на 3 снова получаем последнюю цифру 3, поэтому цикл замкнулся и его длина равна четырём.
Ответ: 3. Остаток 1 указывает на первую позицию, а не на показатель, который нужно вычислять полностью.
Показатель очень большой, но сама степень для решения не нужна. Сначала строим цикл для последней цифры основания 7: первая цифра — 7, затем 7 · 7 оканчивается на 9, 9 · 7 — на 3, а 3 · 7 — на 1. После этого снова получается 7, значит, цикл равен 7, 9, 3, 1 и имеет длину 4.
Ответ: 7. Даже для очень большого показателя достаточно построить короткий цикл и найти остаток от деления.
Вычислять большую степень целиком — долго и не помогает найти только цифру единиц. Так поступают, потому что степень выглядит как обычное умножение, которое нужно довести до конца. Остановись на последних цифрах множителей: для проверки умножь их отдельно и оставь цифру единиц.
Иногда цикл начинают с показателя 0 или относят его первый элемент не к той степени. Но первая степень — это основание в первой степени, поэтому для числа 2 начало цикла — 2, а не 1. Проверь подписи: первый элемент должен соответствовать основанию¹, второй — основанию².
При делении показателя на длину цикла можно ошибочно взять первый элемент, если остаток равен нулю. Ноль означает не нулевой шаг, а завершение целого числа циклов; после полного круга последовательность заканчивается на последнем элементе. Для самопроверки возьми показатель, кратный длине цикла, и посмотри, какой элемент завершает каждый круг.
Ещё одна ошибка — учитывать все цифры множителей вместо одних последних. Её допускают, потому что при обычном умножении работают со всеми разрядами, но для разряда единиц предыдущие разряды не нужны. Проверь вычисление, заменив каждый множитель его последней цифрой: итоговая цифра единиц должна остаться той же.
Для решения таких задач нужно уметь записывать степень, умножать числа и находить остаток при делении. Остаток помогает определить, на каком месте повторяющегося цикла находится показатель. Эти знания соединяют действия с числами и наблюдение за повторяющимся порядком.
Циклы полезны не только для поиска последней цифры степеней. Та же идея встречается в задачах на делимость и остатки, когда важно понять, что повторяется после нескольких одинаковых шагов. Освоив её на коротких циклах, можно применять способ к другим основаниям и большим показателям.
Почему для поиска последней цифры не нужно вычислять всю степень?
Последняя цифра произведения зависит только от последних цифр множителей. Поэтому при возведении в степень достаточно каждый раз умножать последнюю цифру на основание и оставлять только цифру единиц.
Как составить цикл последних цифр для нового основания?
Запиши последнюю цифру основания, затем каждый раз умножай её на последнюю цифру основания и записывай только цифру единиц. Продолжай, пока последовательность не начнёт повторяться.
Что делать, если показатель степени меньше длины цикла?
В таком случае цикл ещё не успел пройти полностью. Номер степени сразу указывает на соответствующий элемент цикла: например, для третьей степени берут третий элемент.
Почему при делении показателя на длину цикла важен остаток?
Каждый полный цикл возвращает последовательность к тому же порядку цифр. Остаток показывает, на сколько шагов нужно пройти дальше после полных циклов.
Какую цифру брать, если остаток от деления равен нулю?
Нулевой остаток означает, что завершилось ровно целое число циклов. Поэтому берут последний элемент цикла, а не первый.
§ 4. На какую цифру оканчивается 2100
