35. Чётные и нечётные числа

Определения и обозначения

Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка; его можно представить в виде 2k, где k — целое число. Например, 38 = 2 · 19, поэтому 38 чётно. Такая запись нужна, чтобы описывать сразу все чётные числа и доказывать их свойства без перебора.

Нечётное число — целое число, которое при делении на 2 даёт остаток 1; его можно представить в виде 2k + 1, где k — целое число. Например, 7 = 2 · 3 + 1. Запись помогает отличать нечётные числа от чётных и удобно исследовать выражения с ними.

Чётность числа — свойство целого числа быть чётным или нечётным. Иначе говоря, чётность сообщает, к какой из двух групп относится целое число. Это свойство используют, чтобы предсказывать результат сложения и умножения, не обязательно находя его значение.

Как это устроено

При делении целого числа на 2 возможны только остатки 0 и 1. Остаток не может быть отрицательным или равным двум и больше: при делении с остатком он меньше делителя и неотрицателен. Поэтому остаток 0 означает чётное число, а остаток 1 — нечётное, и ни одно целое число не остаётся вне этих двух случаев.

Записи 2k и 2k + 1 позволяют обосновать чётность и нечётность чисел, не перебирая их по одному. В первой записи число состоит из целого количества пар, поэтому делится на 2. Во второй к целому количеству пар добавлена ещё одна единица, и она остаётся после деления. Буквы k и m обозначают любые целые числа, а не конкретные значения.

Сумма двух чётных чисел чётна, потому что если числа равны 2k и 2m, то их сумма равна 2k + 2m = 2(k + m). Сумма двух нечётных чисел тоже чётна: (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1). В обоих случаях результат записан как 2, умноженное на целое число, а значит, делится на 2 без остатка.

Сумма чётного и нечётного числа нечётна. Если числа имеют вид 2k и 2m + 1, то сумма равна 2k + 2m + 1 = 2(k + m) + 1. Получилось целое число, кратное двум, и ещё одна единица; поэтому остаток при делении на 2 равен 1.

Произведение чётного числа на любое целое число чётно: если один множитель равен 2k, то произведение с целым числом m равно 2km. Здесь km — целое число, поэтому результат имеет вид 2 умножить на целое. Произведение двух нечётных чисел нечётно: (2k + 1)(2m + 1) = 2(2km + k + m) + 1. Выражение в скобках целое, так что произведение имеет вид 2n + 1.

Чётность суммы и произведения целых чисел

Сначала найдите в таблице нужную операцию, затем сопоставьте слагаемые или множители по их чётности. В последнем столбце указано, каким будет результат, поэтому вычислять его полностью не требуется. Для суммы двух нечётных чисел используйте строку с двумя нечётными слагаемыми.

Разбор задач

Определите, чётно или нечётно число 38.

Чтобы определить чётность, проверим, делится ли число на 2 без остатка. Можно выполнить деление или представить число в виде 2k. Во втором случае достаточно найти целое значение k.

1. Представим 38 как произведение: 38 = 2 · 19.
2. Число 19 — целое, значит, запись имеет вид 2k, где k — целое число.
3. Следовательно, 38 делится на 2 без остатка и является чётным.

Ответ: 38 — чётное число.

Не вычисляя сумму, определите её чётность: 125 + 48.

В этой задаче не требуется находить сумму. Достаточно выяснить, к какому виду относится каждое слагаемое, а затем применить правило для чисел разной чётности. Так можно получить ответ, не выполняя сложение.

1. Число 125 нечётное: оно на единицу больше числа 124, которое делится на 2.
2. Число 48 чётное, так как 48 = 2 · 24.
3. Слагаемые имеют разную чётность, а сумма чисел разной чётности нечётна.

Ответ: сумма 125 + 48 нечётна.

Докажите, что произведение двух нечётных целых чисел нечётно.

Для доказательства возьмём не отдельные примеры, а любые два нечётных целых числа. Обозначим их через 2k + 1 и 2m + 1, где k и m — целые числа. Затем раскроем скобки и преобразуем произведение так, чтобы увидеть форму нечётного числа.

1. Запишем произведение: (2k + 1)(2m + 1).
2. Раскроем скобки: 4km + 2k + 2m + 1.
3. Вынесем 2 из первых трёх слагаемых: 2(2km + k + m) + 1.
4. Выражение 2km + k + m целое, поскольку k и m целые. Значит, произведение имеет вид 2n + 1 и нечётно.

Ответ: произведение любых двух нечётных целых чисел нечётно.

Типичные ошибки

Чётность иногда пытаются определить для любых чисел, но понятия чётного и нечётного относятся только к целым. Ошибка возникает, когда забывают условие в определении и переносят его на дроби. Перед ответом проверьте, является ли число целым: дробь, например 3/2, не называют ни чётной, ни нечётной.

Число могут назвать нечётным просто потому, что оно не делится на 2 без остатка. Такое рассуждение неполно, если не проверено, что число целое: для дробей привычное деление с остатком здесь не применяется. Сначала установите, что перед вами целое число, и только потом определяйте остаток при делении на 2.

Сумму двух нечётных чисел иногда считают нечётной, потому что оба слагаемых нечётны. Но при сложении к парам в каждом слагаемом добавляется ещё по одной единице, а две единицы образуют пару. Проверьте ответ записью (2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1): он имеет вид чётного числа.

Ещё одна ошибка — считать произведение двух нечётных чисел чётным, смешивая правила умножения и сложения. У двух нечётных множителей результат не обязан делиться на 2: например, 3 · 5 = 15. Для проверки запишите множители как 2k + 1 и 2m + 1 и преобразуйте произведение к виду 2n + 1.

Связь с другими темами

Для изучения чётности нужно уметь делить целые числа с остатком и понимать, что значит делимость без остатка. Именно остаток при делении на 2 позволяет отличить чётное число от нечётного. Если эти понятия пока вызывают затруднение, полезно сначала вспомнить деление с остатком.

Чётность пригодится в задачах на делимость, при доказательствах и при исследовании выражений. Например, правила для суммы и произведения помогают определить свойства результата, не выполняя громоздких вычислений. Представления 2k и 2k + 1 позволяют обосновывать такие выводы для любых целых чисел.

Что запомнить

• Чётное целое число имеет вид 2k.
• Нечётное целое число имеет вид 2k + 1.
• Каждое целое число чётно или нечётно.
• Сумма двух чисел одинаковой чётности чётна.
• Сумма чисел разной чётности нечётна.
• Произведение с чётным множителем чётно.
• Произведение двух нечётных чисел нечётно.