2.46. Делимое, делитель, частное

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят. В записи a : b = c делимое обозначено буквой a. Например, если 12 яблок распределяют между детьми, делимым будет число 12: оно показывает, какое количество предстоит разделить.

Делитель — число, на которое делят. В записи a : b = c это число b. Оно показывает, на сколько равных частей делят делимое или сколько раз отмеряют делитель, чтобы получить делимое; нужный смысл подсказывает условие задачи.

Частное — результат деления, обозначенный в равенстве a : b = c буквой c. Этим же словом называют и выражение a : b, даже если его ещё не вычислили. Такое различие помогает понять, идёт ли речь о записи действия или о полученном числе.

Деление — действие, с помощью которого по делимому и делителю находят частное. В записи a : b = c буква a показывает, что делят, b — на что делят, а c — результат. Зная названия компонентов, проще читать выражения и проверять вычисления.

Как это устроено

При делении на равные части известное количество распределяют поровну между указанным числом частей. Частное показывает размер одной части, потому что каждая часть должна получить одинаковое количество. Например, если 12 яблок раздать поровну 3 детям, каждому достанется 12 : 3 = 4 яблока. Здесь ищут именно число яблок на одного ребёнка.

Деление по содержанию помогает узнать, сколько раз делитель укладывается в делимом. Например, вопрос «Сколько раз по 4 содержится в 12?» приводит к выражению 12 : 4 = 3. Это тот же результат, что и при распределении 12 яблок поровну между 4 детьми: каждый получит по 3 яблока. В одном случае считают группы по 4, в другом находят размер каждой из 4 равных частей.

Чтобы найти неизвестное частное, можно подобрать число, которое при умножении на делитель даст делимое. Так поступают потому, что умножение помогает восстановить исходное количество по размеру части и числу частей. Например, для 56 : 7 ищут число, удовлетворяющее равенству 7 · □ = 56. Таблица умножения подсказывает, что это число 8.

Деление и умножение связаны проверочным равенством: если a : b = c, то b · c = a. Причина в том, что делитель, взятый столько раз, сколько показывает частное, восстанавливает делимое. Поэтому ответ 56 : 7 = 8 можно проверить так: 7 · 8 = 56. Если произведение не равно делимому, значит, в делении допущена ошибка.

На ноль делить нельзя, потому что деление должно дать число, которое при умножении на делитель восстанавливает делимое. Если делитель равен нулю, то любое число, умноженное на него, даёт ноль, поэтому ненулевое делимое получить невозможно. А если делимое тоже ноль, равенству 0 · c = 0 удовлетворяет любое c, так что единственного частного нет. Следовательно, деление на ноль не определено.

Компоненты деления и их смысл

Читай запись слева направо: сначала назови число, которое делят, затем — на что делят, и в конце — результат. Чтобы не перепутать делимое и делитель, спроси себя: «Что распределяют?» и «Между сколькими частями или по сколько отмеряют?»

Разбор задач

Задача 1. Раздели 12 яблок поровну между 3 детьми. Назови делимое, делитель и частное. Слово «поровну» означает, что яблоки нужно распределить так, чтобы каждый ребёнок получил одинаковое количество. Значит, требуется узнать размер одной части.

1. Запишем действие: 12 : 3. Здесь делят 12 яблок на 3 равные части, по одной для каждого ребёнка.
2. В записи 12 : 3 число 12 — делимое, потому что его распределяют. Число 3 — делитель, потому что оно показывает количество равных частей.
3. Вычислим 12 : 3 = 4. Число 4 — частное: именно столько яблок получает каждый ребёнок.

Ответ: каждому ребёнку достанется 4 яблока; делимое — 12, делитель — 3, частное — 4.

Задача 2. Найди частное 56 : 7 и проверь ответ умножением. Вместо случайного подбора вспомним, что частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Поэтому нужно найти число, которое при умножении на 7 даст 56.

1. Подберём множитель по таблице умножения: 7 · 8 = 56. Значит, частным будет число 8.
2. Запишем результат деления: 56 : 7 = 8. Проверим его, умножив делитель 7 на частное 8.
3. Получаем 7 · 8 = 56. Произведение совпало с делимым, следовательно, частное найдено верно.

Ответ: 56 : 7 = 8; проверка: 7 · 8 = 56.

Задача 3. В равенстве 9 · □ = 72 найди неизвестный множитель, запиши соответствующее деление и назови его компоненты. Неизвестное число умножают на 9 и получают 72. Обратное действие к умножению — деление, поэтому неизвестный множитель можно найти, разделив произведение на известный множитель.

1. Запишем деление: 72 : 9. Делимое здесь 72, а делитель 9.
2. Найдём частное: 72 : 9 = 8, потому что 9 · 8 = 72. Значит, в окошке нужно поставить число 8.
3. Назовём компоненты соответствующего деления: делимое — 72, делитель — 9, частное — 8. Проверка исходного равенства показывает, что 9 · 8 действительно равно 72.

Ответ: неизвестный множитель равен 8; соответствующее деление — 72 : 9 = 8.

Типичные ошибки

Иногда делимое и делитель путают, запоминая только порядок слов или глядя на цифры без смысла. Чтобы этого не произошло, проговори условие: сначала назови, что делят, затем — на что делят. После этого сверь названия с записью: до знака деления стоит делимое, после него — делитель.

Бывает, что частным называют только вычисленное число и не относят это слово к выражению a : b. Так происходит, потому что слово «результат» легко принять за единственное значение термина. Помни, что частным называют и результат, и выражение деления; по контексту станет понятно, о чём говорится.

При проверке иногда умножают делимое на делитель или записывают множители не по смыслу. Правильная проверка следует из связи действий: частное показывает, сколько раз нужно взять делитель, чтобы получить делимое. Поэтому умножай частное на делитель; ответ верен, если произведение равно делимому.

Нельзя применять к делению на ноль обычный подбор частного, будто любое выражение деления обязано иметь ответ. Для ненулевого делимого не существует числа, которое при умножении на ноль даст это делимое, а при нулевом делимом возможны разные множители. Проверь, не равен ли делитель нулю: такое деление не выполняют.

Связь с другими темами

Для нахождения частного полезно знать смысл умножения и таблицу умножения. Если известны делимое и делитель, можно подобрать частное как неизвестный множитель, а затем проверить умножением. Поэтому уверенное владение таблицей ускоряет вычисления и помогает замечать ошибки.

Деление пригодится при решении уравнений с неизвестным множителем: его находят делением произведения на известный множитель. Оно также помогает решать задачи на равное распределение и измерение количества. В первом случае выясняют размер каждой части, во втором — сколько раз выбранная величина содержится в общем количестве.

Что запомнить

• В записи a : b = c число a — делимое.
• Число b — делитель.
• Число c — частное.
• Деление связано с умножением: если a : b = c, то b · c = a.
• Чтобы проверить деление, умножь частное на делитель.
• На ноль делить нельзя.