"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Арифметические действия помогают объединять и сравнивать количества, находить число равных групп и распределять предметы поровну. Их результаты и числа, с которыми выполняют вычисления, имеют специальные названия: например, сумму получают сложением, а частное — делением. Сложение и вычитание, умножение и деление связаны как обратные действия. Чтобы значение выражения было определено однозначно, нужно соблюдать порядок вычислений: сначала скобки, затем умножение и деление, после них сложение и вычитание.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения; числа, которые складывают, называют слагаемыми. Например, в записи 7 + 5 = 12 числа 7 и 5 — слагаемые, а 12 — сумма. Это название помогает различать исходные числа и полученный результат, когда нужно вычислить или проверить выражение.
Разность — результат вычитания; уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. В записи 13 − 4 = 9 число 13 — уменьшаемое, 4 — вычитаемое, 9 — разность. Эти названия показывают, какое количество было сначала и какую его часть убрали.
Произведение — результат умножения; числа, которые умножают, называют множителями. Например, в равенстве 3 · 4 = 12 числа 3 и 4 — множители, а 12 — произведение. Термины удобны, когда умножение описывает несколько одинаковых групп и нужно не перепутать число групп с количеством предметов в каждой.
Частное — результат деления; число, которое делят, называют делимым, а число, на которое делят, — делителем. В записи 20 : 5 = 4 число 20 — делимое, 5 — делитель, 4 — частное. Делитель не может быть равен нулю: не существует числа, которое при умножении на ноль давало бы ненулевое делимое.
Сложение объединяет количества, потому что к уже имеющимся предметам добавляют другие. Если было 8 книг и принесли ещё 6, общее количество находят действием 8 + 6, а ответом становится сумма 14. Слагаемые можно переставлять местами: при объединении сначала одних, а затем других предметов общее количество не изменится. Это свойство позволяет выбирать удобный порядок вычисления, например сначала складывать числа, дающие круглый десяток.
Вычитание описывает ситуацию, когда часть количества убирают, или помогает узнать, на сколько одно число больше другого. Если из 15 яблок отдать 4, действие 15 − 4 показывает, сколько останется; если сравнить 15 и 4, оно же показывает разницу между числами. Вычитание связано со сложением: к остатку нужно прибавить убранную часть, чтобы восстановить исходное количество. Поэтому сложением удобно проверять, верно ли найдена разность.
Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, поскольку несколько равных групп можно посчитать короче. Например, четыре коробки по три карандаша дают 3 + 3 + 3 + 3, то есть 4 · 3 = 12. Один множитель может обозначать число групп, другой — число предметов в каждой группе. Такая запись удобна и для повторяющихся количеств, и для вычислений; при этом множители можно переставить без изменения произведения.
Деление распределяет общее количество на равные части или отвечает на вопрос, сколько раз одно число содержится в другом. Если 12 конфет разделить поровну между 3 детьми, каждый получит 12 : 3 = 4 конфеты; если разложить по 3 конфеты, получится 4 группы. Деление связано с умножением: чтобы проверить 12 : 3 = 4, достаточно убедиться, что 4 · 3 = 12. Делить на ноль нельзя, ведь умножение любого числа на ноль даёт только ноль.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала выполняют действия внутри скобок, потому что скобки выделяют часть выражения, значение которой нужно найти прежде остальных вычислений. Затем выполняют умножение и деление, а после них — сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Например, в выражении 2 + 3 · 4 сначала находят произведение, иначе можно получить неверный результат из-за произвольного порядка вычислений.
| Действие | Запись | Как называются числа | Результат | Обратное действие |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b | Слагаемые | Сумма | Вычитание |
| Вычитание | a − b | Уменьшаемое, вычитаемое | Разность | Сложение |
| Умножение | a · b | Множители | Произведение | Деление |
| Деление | a : b | Делимое, делитель | Частное | Умножение |
Используй таблицу, чтобы быстро определить, как называются числа в записи и как называется результат. Столбец «Обратное действие» подсказывает, чем проверить вычисление. При делении помни, что делитель не должен быть равен нулю.
Вычислите 28 + 17. Удобно разложить одно из слагаемых так, чтобы сначала получить круглое число. К 28 достаточно прибавить 2, поэтому представим 17 как сумму 2 и 15. После этого остаётся сложить числа, которые легко считать устно.
Ответ: 45. Мы не изменили слагаемые, а лишь представили одно из них суммой частей. Приём сработал, потому что число 2 довело 28 до ближайшего десятка.
Вычислите 72 − 38 и проверьте результат. Чтобы не вычитать по частям с переходом через десяток, можно сначала убрать 30, а затем ещё 8. Проверку выполним обратным действием: к найденной разности прибавим вычитаемое и сравним результат с уменьшаемым.
Ответ: 34. При проверке получилось исходное уменьшаемое 72, значит, разность найдена правильно. Если бы сумма разности и вычитаемого не совпала с уменьшаемым, нужно было бы проверить вычисления.
Вычислите 48 : (6 + 2) + 3 · 5. В выражении есть скобки, деление, умножение и сложение. Нельзя начинать с действий, которые кажутся удобнее: порядок определён правилами, поэтому сначала найдём значение в скобках.
Ответ: 21. Деление и умножение здесь не зависят друг от друга, поэтому их можно выполнить по очереди после скобок. Сложение оставляем последним, так как оно имеет меньший приоритет.
Переставлять числа при вычитании. Иногда кажется, что раз числа можно менять местами при сложении, то это верно для всех действий. Но 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5, поэтому результат меняется. Проверь себя, выполнив оба действия или прибавив вычитаемое к предполагаемой разности: должно получиться уменьшаемое.
Путать делимое и делитель. При чтении записи числа могут поменяться местами, особенно если неясно, какое из них делят. В выражении 24 : 6 делимое — 24, делитель — 6; перестановка даёт уже другое действие. Чтобы проверить порядок, произнеси задачу как «24 разделить на 6» и умножь ответ на делитель: должно получиться делимое.
Делить на ноль. Ошибка возникает, если воспринимать ноль как обычный делитель. Однако, например, для 5 : 0 пришлось бы найти число, произведение которого на 0 равно 5, а любое такое произведение равно 0. Проверяй деление обратным умножением: если необходимого равенства нет, деление не определено.
Сначала выполнять сложение, а потом умножение. При чтении слева направо можно поспешить и вычислить первое действие. Но в выражении без скобок умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания. Например, 2 + 3 · 4 = 14, а не 20: чтобы проверить себя, отметь все действия по порядку до начала вычислений.
Чтобы уверенно выполнять арифметические действия, нужно уметь считать и сравнивать числа, а также понимать, какие роли играют компоненты действия. Эти знания помогают переводить условие задачи в выражение: например, распознавать, когда количество объединяют, уменьшают или делят на равные части. Затем правила действий используют при нахождении значений выражений. Те же действия нужны в дальнейших темах — при вычислениях с дробями и отрицательными числами, где важно не только считать, но и следить за порядком операций.
Как проверить, правильно ли выполнено вычитание?
К разности прибавь вычитаемое. Если получится уменьшаемое, вычитание выполнено верно. Например, для 72 − 38 = 34 проверка такая: 34 + 38 = 72.
Почему нельзя делить на ноль?
Деление проверяют умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. При делении на ноль пришлось бы найти число, которое при умножении на 0 даёт ненулевое число, но такого числа нет. Поэтому деление на ноль не определено.
Чем делимое отличается от делителя?
Делимое — число, которое делят, а делитель показывает, на сколько равных частей делят или сколько раз одно число содержится в другом. Например, в записи 24 : 6 число 24 — делимое, а 6 — делитель.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняй действия в скобках. Затем по порядку слева направо — умножение и деление, потом также слева направо — сложение и вычитание.
Можно ли менять местами числа при вычитании и делении?
В общем случае нельзя: 9 − 4 = 5, а 4 − 9 = −5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 = ¼. При перестановке чисел результат обычно меняется.
Арифметические действия
