Числа

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. В принятой здесь договорённости нуль в натуральные числа не входит, потому что он обозначает отсутствие предметов. Натуральные числа нужны для счёта и нумерации.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Противоположные числа отличаются только знаком, например 5 и −5. Целые числа позволяют описывать не только количество, но и величины ниже нуля, например температуру.

Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Например, 3/4, −2/5 и 7/1 — рациональные числа. Такая запись объединяет целые числа и дроби в одно множество и помогает выполнять действия с ними.

Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целым числителем и натуральным знаменателем. Его бесконечная десятичная запись не имеет повторяющегося периода; примеры — √2 и π. Это определение помогает отличать числа, которые нельзя точно записать обыкновенной дробью.

Как это устроено

Сначала для счёта достаточно натуральных чисел, но они не описывают отсутствие предметов и значения меньше нуля. Поэтому к ним добавляют нуль и отрицательные числа, получая целые числа. Когда нужно выразить часть целого, например половину или три четверти, вводят дроби. Так возникают всё более широкие числовые множества, подходящие для новых задач.

Целые и дробные числа можно объединить, потому что и те и другие представимы одной формой m/n. Целое число a — это дробь a/1, а обычная дробь уже имеет нужный вид. Знаменатель не может быть нулём: деление на нуль не определено. Поэтому рациональные числа охватывают целые числа, обыкновенные дроби и многие десятичные дроби.

Десятичная запись рационального числа заканчивается или повторяет цифры периодически. Причина в том, что при делении целого числа на натуральное возможны лишь конечное число разных остатков: либо остаток станет нулём, и запись завершится, либо остаток повторится и начнёт повторяться блок цифр. Если бесконечная запись не периодична, число иррационально. Например, 0,333… периодично, а десятичная запись √2 бесконечна и непериодична.

Множества включаются друг в друга: каждое натуральное число является целым, каждое целое — рациональным, а всякое рациональное — действительным. Последнее множество состоит из рациональных и иррациональных чисел и включает все точки числовой прямой. На прямой каждому числу соответствует координата: положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева. Противоположные числа равноудалены от нуля, поскольку отличаются только знаком.

Числовые множества и их признаки

Чтобы определить множество, сначала проверь, можно ли записать число дробью m/n, а затем уточни, является ли оно целым или натуральным. Помни о принятой договорённости насчёт нуля. Иррациональные числа и рациональные вместе составляют действительные числа.

Разбор задач

Задача 1. Распределить числа 0, −5, 3, 1/2 по множествам, к которым они принадлежат. Будем использовать договорённость, что натуральные числа начинаются с 1. Каждое число может принадлежать сразу нескольким множествам, поэтому проверяем его по очереди.

1. 0 не натуральное, но целое; оно также рациональное, поскольку 0 = 0/1, и действительное.
2. −5 не натуральное, зато целое; запись −5 = −5/1 показывает, что оно рациональное и действительное.
3. 3 — натуральное, значит, оно также целое, рациональное (3 = 3/1) и действительное.
4. 1/2 не целое и не натуральное, но имеет вид m/n, поэтому рациональное и действительное.

Ответ: 0 — целое, рациональное и действительное; −5 — целое, рациональное и действительное; 3 — натуральное, целое, рациональное и действительное; 1/2 — рациональное и действительное. Проверка дробью особенно полезна для целых чисел: любое целое можно записать со знаменателем 1.

Задача 2. Записать 0,272727… в виде обыкновенной дроби и определить, рационально ли это число. В записи повторяется блок 27, значит, десятичная дробь периодическая. Обозначим число буквой x и сдвинем запятую так, чтобы период совпал.

1. Положим x = 0,272727… .
2. Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на 100: 100x = 27,272727… .
3. Вычтем из второго равенства первое: 99x = 27, так как бесконечные части после запятой совпали.
4. Разделим обе части на 99: x = 27/99 = 3/11.

Ответ: 0,272727… = 3/11, число рациональное. Его принадлежность к рациональным следует из полученной дроби с целым числителем и ненулевым натуральным знаменателем.

Задача 3. Расположить −√2, −1, 0, 3/2 и √2 на координатной прямой. Для сравнения полезно оценить корень: так как 1,4² = 1,96, а 1,5² = 2,25, то 1,4 < √2 < 1,5. Следовательно, −1,5 < −√2 < −1,4, а 3/2 равно 1,5.

1. −√2 приблизительно равно −1,41, поэтому оно левее −1, но правее −1,5.
2. −1 находится левее нуля, а 0 левее любого положительного числа.
3. √2 положительно и меньше 1,5, значит, оно находится левее 3/2.
4. Запишем числа слева направо, от меньшего к большему.

Ответ: −√2 < −1 < 0 < √2 < 3/2. На прямой порядок слева направо совпадает с возрастанием координат, поэтому сначала сравнили отрицательные числа, затем положительные.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что нуль обязательно натуральный. Её допускают, потому что в разных учебниках и разделах математики договорённость может отличаться. Проверь определение, принятое в задаче: здесь натуральный ряд начинается с 1, поэтому 0 — целое, но не натуральное число.

Ошибка: определять множество только по знаку числа. Например, из-за минуса число −5 могут ошибочно объявить «не принадлежащим числовым множествам», хотя оно целое и рациональное. Знак показывает положение числа относительно нуля, а принадлежность проверяют по определению множества. Для проверки представь число дробью: −5 = −5/1.

Ошибка: считать любую бесконечную десятичную запись иррациональной. Так думают, забывая, что бесконечная запись может повторять период, как 0,272727… . Проверь, повторяется ли блок цифр: если да, запись периодическая и число рациональное; если нет и запись бесконечна, число иррационально.

Ошибка: полагать, что десятичная дробь всегда иррациональна. Запись с запятой может быть конечной, как 0,25, или периодической, как 0,333…; обе представимы обыкновенной дробью. Переведи конечную запись в дробь со знаменателем 10, 100 и так далее, а периодическую — по правилу перевода периода. Это позволит проверить, рационально ли число.

Связь с другими темами

Для работы с числовыми множествами нужны навыки обращения с обыкновенными и десятичными дробями, отрицательными числами и координатной прямой. Также важно уметь сравнивать числа и понимать, как устроено деление. Позже множества помогают разбираться, какие решения могут иметь уравнения и неравенства, и выбирать допустимые значения переменных. Приближения иррациональных чисел применяют в вычислениях, а координаты чисел служат основой для координат на плоскости.

Что запомнить

• Натуральные числа входят в множество целых чисел.
• Целые числа входят в множество рациональных чисел.
• Любое рациональное число можно представить дробью m/n, где n не равно нулю.
• Десятичная запись рационального числа конечна или периодична.
• Бесконечная непериодическая десятичная запись задаёт иррациональное число.
• Рациональные и иррациональные числа вместе образуют множество действительных чисел.