Числа в порядке счета

Определения и обозначения

Натуральное число — число, используемое при счёте предметов. Например, если считать яблоки по одному, получатся числа 1, 2, 3 и так далее. В принятом здесь определении натуральные числа начинаются с единицы, поэтому ноль к ним не относят. Это понятие помогает описывать количество предметов и порядок счёта.

Натуральный ряд — последовательность натуральных чисел, расположенных в порядке счёта: 1, 2, 3 и так далее. Каждое число в ней занимает своё место, а после любого числа можно продолжить счёт. Ряд нужен, чтобы видеть последовательность чисел и определять, какое из них больше или меньше.

Предыдущее число — натуральное число, которое называют непосредственно перед данным при счёте. Например, перед числом 8 называют 7. Это понятие помогает определить, какое число стоит на одну позицию раньше, и найти разность между соседними числами.

Следующее число — натуральное число, которое называют непосредственно после данного при счёте. Например, после 8 называют 9. Оно нужно, чтобы продолжать счёт и переходить к числу, которое на единицу больше данного.

Как это устроено

Когда считают предметы, каждому из них по очереди сопоставляют число: первому — 1, второму — 2, третьему — 3. Так образуется последовательность, в которой число показывает место предмета при счёте. Чтобы не пропустить предмет и не посчитать его дважды, считают каждый предмет один раз и называют числа по порядку. Поэтому натуральные числа связаны с упорядоченным счётом.

Первое число натурального ряда — 1. После него называют 2, затем 3 и так далее, потому что при счёте переходят к следующему предмету, прибавляя к предыдущему числу единицу. Например, после 14 идёт 15: это не произвольный переход, а шаг к соседнему числу. Так правило «прибавить 1» сохраняет порядок ряда.

У каждого натурального числа есть следующее. Какое бы число ни назвали, к нему можно прибавить 1 и получить ещё одно натуральное число: после 50 будет 51, после 1000 — 1001. Поэтому последнего числа нет: любое названное число можно превзойти, продолжив счёт. По этой причине натуральный ряд бесконечен.

Для числа, большего 1, можно назвать число непосредственно перед ним: достаточно отнять 1. Например, перед 10 стоит 9, потому что 9 + 1 = 10. У единицы такого числа в натуральном ряду нет: перед ней ряд не продолжается, так как его начало — 1. Ноль не становится предыдущим натуральным числом, поскольку в данном определении он не входит в ряд.

Положение чисел в ряду позволяет сравнивать их. Если при счёте одно число называют раньше другого, оно меньше: например, 6 меньше 9, потому что 6 стоит раньше. Это правило соответствует количеству: девять предметов — больше, чем шесть. Для многозначных чисел, записанных не подряд, сравнение выполняют по разрядам, чтобы установить, какое число находится дальше в натуральном ряду.

Как устроен натуральный ряд

Сначала найдите в таблице нужное действие: продолжение ряда, поиск соседнего числа или сравнение. Затем примените правило к своему числу и проверьте, что переход сделан на одну позицию. Для сравнения помните: таблица показывает общий порядок, а многозначные числа при необходимости сравнивают по разрядам.

Разбор задач

Задача 1. Продолжите последовательность: 6, 7, 8, … . Нужно определить, по какому правилу записаны числа. Они идут подряд в натуральном ряду, значит, каждое следующее на единицу больше предыдущего. Продолжим счёт тем же шагом.

1. После 8 назовём число, которое на 1 больше: 8 + 1 = 9.
2. Следом за 9 идёт 10, потому что 9 + 1 = 10.
3. Продолжая прибавлять единицу, получим 11 и 12.

Ответ: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … . Точки показывают, что последовательность можно продолжать дальше. Каждый её шаг равен единице.

Задача 2. Назовите предыдущее и следующее натуральные числа для числа 25. Соседние числа находятся на одну позицию до и после него в натуральном ряду. Поэтому для предыдущего нужно отступить на единицу назад, а для следующего — на единицу вперёд. Проверим оба результата, прибавив к предыдущему 1 и вычтя из следующего 1.

1. Предыдущее число: 25 − 1 = 24.
2. Следующее число: 25 + 1 = 26.
3. Проверка: 24 + 1 = 25, а 26 − 1 = 25.

Ответ: предыдущее число — 24, следующее — 26. Проверка подтверждает, что оба числа соседние с 25. Между ними в натуральном ряду находится именно 25.

Задача 3. Расположите числа 108, 81, 118 и 101 в порядке возрастания. Это значит записать их от меньшего к большему, как они располагались бы при счёте. У числа 81 две цифры, а у остальных — три, значит, 81 меньше всех трёхзначных чисел в этом списке. Чтобы сравнить оставшиеся числа, посмотрим на сотни, затем на десятки и единицы.

1. Среди трёхзначных чисел 101, 108 и 118 сначала сравним сотни: у всех в разряде сотен стоит 1.
2. Сравним десятки: в 101 стоит 0, а в 108 и 118 — 0 и 1 соответственно. Поэтому 101 < 108 и 101 < 118.
3. Для 108 и 118 десятки различаются: 0 меньше 1, значит, 108 < 118.

Ответ: 81, 101, 108, 118. Каждая пара в записи стоит в правильном порядке — от меньшего числа к большему. Сравнение разрядов помогло упорядочить числа с одинаковым количеством цифр.

Типичные ошибки

Иногда считают 0 натуральным числом, опираясь на другое определение или просто на привычку видеть ноль перед единицей. В данном изложении ряд начинается с 1, поэтому ноль в него не включают. Проверяйте, какое определение принято в задаче, и для этой темы начинайте ряд именно с единицы. Тогда определение не будет противоречить примеру 1, 2, 3, ….

Другая ошибка — называть 0 предыдущим натуральным числом для 1. Её допускают, потому что при вычитании 1 из единицы действительно получается ноль, но он не входит в натуральный ряд. Чтобы проверить себя, вспомните, что предыдущее число должно быть натуральным и стоять в ряду непосредственно перед данным. Перед первым числом ряда такой позиции нет.

При поиске следующего числа иногда прибавляют 2 или другое число вместо 1. Так пропускают соседние числа и нарушают порядок натурального ряда. Проверяйте разность: следующее число должно отличаться от данного ровно на единицу. Например, после 8 сразу идёт 9, а не 10.

При сравнении многозначных чисел можно перепутать порядок записи цифр с величиной числа. Например, нельзя решать, что число больше, только потому, что в его записи встречается большая цифра. Сначала сравните количество цифр, а при одинаковом количестве — соответствующие разряды слева направо. Такая проверка помогает верно определить порядок чисел.

Связь с другими темами

Для счёта предметов нужно уметь устанавливать порядок и понимать, что цифры служат для записи чисел. Цифры — это знаки, из которых составляют запись числа; само число выражает количество или положение при счёте. Сравнение натуральных чисел опирается на знание разрядов: единиц, десятков, сотен и других. Порядок чисел пригодится при округлении, вычислениях и решении задач с последовательностями, где важно замечать правило перехода от одного числа к следующему.

Что запомнить

• Натуральные числа используют при счёте.
• Натуральный ряд начинается с 1.
• Каждое следующее число получают прибавлением 1.
• У каждого натурального числа есть следующее.
• У числа 1 нет предыдущего натурального числа.
• Число, расположенное позже в натуральном ряду, больше числа, расположенного раньше.