"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
План улицы показывает местность сверху с помощью условных обозначений: на нём можно найти дома, перекрёстки и другие объекты, не изображая их в настоящую величину. Масштаб связывает длину на плане с расстоянием на местности. Чтобы вычислить путь по нескольким улицам, маршрут разбивают на участки и складывают их длины. При сравнении маршрутов важно смотреть на длину пути, а не только на число поворотов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
План улицы — изображение участка местности сверху, на котором объекты показаны условными обозначениями. Например, разные значки или линии могут обозначать дома, улицы и перекрёстки. План не копирует местность в натуральную величину, а помогает увидеть, где находятся объекты относительно друг друга. Поэтому по нему удобно выбирать путь и оценивать расстояния.
Масштаб — отношение длины на плане к соответствующей длине на местности. Запись 1 : 10 000 читают так: одной единице длины на плане соответствуют 10 000 таких же единиц в действительности. Значит, 1 см на плане — это 10 000 см на местности, то есть 100 м. Масштаб нужен, чтобы переводить измеренную на плане длину в реальное расстояние и обратно.
Маршрут — путь от начальной точки до конечной, состоящий из одного или нескольких участков. Например, дорога от дома до остановки может идти по нескольким улицам и менять направление на перекрёстках. Каждый участок маршрута можно измерить отдельно. Это позволяет вычислить весь путь, даже если он не изображён прямой линией.
Расстояние по маршруту — длина пути, которую находят сложением длин его участков. Если путь состоит из трёх отрезков длиной 200 м, 300 м и 150 м, то общее расстояние равно 650 м. Это не обязательно совпадает с прямым расстоянием между начальной и конечной точками. Понятие нужно, чтобы сравнивать реальные пути по улицам.
План помогает описать расположение домов и перекрёстков, потому что сохраняет их взаимное положение: можно увидеть, что находится рядом и куда ведёт улица. При этом объекты не нужно рисовать такими же большими, как в действительности, иначе весь участок местности не поместился бы на листе. Условные обозначения делают изображение компактным и понятным. По ним можно найти нужное место, не отвлекаясь на детали внешнего вида зданий.
Чтобы перейти от плана к реальному расстоянию, длину отрезка умножают на знаменатель масштаба. Например, при масштабе 1 : 10 000 отрезок 2 см соответствует 20 000 см на местности. В обратную сторону действуют делением: реальное расстояние делят на знаменатель, чтобы получить длину на плане. Такая связь работает потому, что масштаб задаёт постоянное отношение между двумя длинами.
Перед вычислениями нужно согласовать единицы измерения: масштаб связывает одинаковые единицы, а числа в сантиметрах и метрах напрямую сравнивать нельзя. Если план дан в сантиметрах, удобно сначала вычислить расстояние на местности тоже в сантиметрах, а затем перевести результат. Например, 100 см составляют 1 м, а 1000 м — 1 км. Такой порядок помогает избежать ошибки на множитель 100 или 1000.
Маршрут по улицам может состоять из нескольких прямых участков, поэтому его сначала делят на части между поворотами или перекрёстками. Длину каждой части измеряют на плане, затем переводят в реальные единицы по масштабу. После этого участки складывают, поскольку весь путь включает их один за другим. Если все части уже измерены в одинаковых единицах на плане, можно сначала сложить их и затем применить масштаб.
Чтобы сравнить два пути до одного места, нужно найти длину каждого маршрута и сопоставить результаты в одинаковых единицах. Количество поворотов не заменяет измерение: путь с одним поворотом может оказаться длиннее пути с несколькими. Прямая линия между точками показывает прямое расстояние, но улицы могут идти иначе или не позволять пройти прямо. Поэтому сравнивают доступные маршруты по сумме их участков.
Таблица подсказывает, какое действие выбрать по данным задачи. Сначала определите, что дано: длина на плане, масштаб или уже известные длины участков. Затем решите, требуется ли переводить расстояние, складывать части пути или сравнивать маршруты; не забывайте согласовать единицы.
| Что известно | Что требуется найти | Действие |
|---|---|---|
| Длина отрезка на плане и масштаб | Расстояние на местности | Умножить длину на плане на знаменатель масштаба и перевести единицы |
| Расстояние на местности и масштаб | Длина отрезка на плане | Привести расстояние к единицам масштаба и разделить на знаменатель |
| Длины нескольких участков маршрута | Общая длина пути | Перевести длины в одинаковые единицы и сложить |
| Длины двух маршрутов | Короткий маршрут | Найти длину каждого пути и сравнить результаты |
Задача 1. На плане отрезок между двумя перекрёстками равен 3 см. Масштаб — 1 : 10 000. Найдите расстояние между перекрёстками на местности.
Ответ: 300 м. Перевод единиц нужен, чтобы выразить большое число сантиметров в удобном виде.
Задача 2. Расстояние между домом и остановкой составляет 600 м. Масштаб плана — 1 : 20 000. Какой длине соответствует это расстояние на плане?
Ответ: на плане расстоянию соответствуют 3 см. Сначала мы привели величины к одинаковым единицам, иначе делить метры на число масштаба было бы нельзя.
Задача 3. Маршрут проходит по трём улицам; на плане его участки равны 2,5 см, 3 см и 1,5 см. Масштаб — 1 : 10 000. Найдите длину маршрута на местности и сравните её с прямым расстоянием 650 м.
Ответ: длина маршрута — 700 м; он длиннее прямого расстояния на 50 м. Сравнение возможно, потому что оба результата выражены в метрах.
Для работы с планом нужно уметь измерять и сравнивать длины, а также переводить сантиметры, метры и километры. Масштаб связан с отношением и пропорцией: при одном и том же масштабе длины на плане и на местности изменяются в постоянное число раз. Эти знания пригодятся при чтении карт и планов, выборе маршрута и решении других задач на масштаб. Они также помогают оценивать, насколько реалистичен полученный ответ.
Что показывает масштаб плана?
Масштаб показывает отношение длины на плане к соответствующей длине на местности. Например, масштаб 1 : 10 000 означает, что 1 см на плане соответствует 10 000 см в действительности.
Как по масштабу найти настоящее расстояние?
Длину отрезка на плане умножают на знаменатель масштаба. Сначала убедитесь, что результат выражен в подходящих единицах, например переведите сантиметры в метры.
Почему при решении задачи нужно переводить сантиметры в метры?
Масштаб связывает длины в одинаковых единицах, поэтому сначала удобно получить расстояние в сантиметрах. Чтобы выразить его в метрах, нужно разделить число сантиметров на 100.
Как найти длину маршрута, который проходит по нескольким улицам?
Разбейте маршрут на участки и найдите длину каждого из них. Если участки измерены на плане, переведите их в реальные расстояния по масштабу, а затем сложите.
Можно ли определить по плану, какой из двух маршрутов короче?
Да, если известны длины участков обоих маршрутов: их нужно сложить и сравнить результаты в одинаковых единицах. Количество поворотов само по себе не показывает, какой путь короче.
На улице
