"Математика", Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова С.Б. и др.
Многоугольник — это замкнутая фигура, граница которой состоит из отрезков. Точки соединения отрезков называют вершинами, а сами отрезки — сторонами. По числу сторон можно определить вид многоугольника: например, у пятиугольника пять сторон. Чтобы найти периметр — длину границы фигуры, — нужно сложить длины всех сторон. Если все стороны равны, достаточно умножить длину одной стороны на их число.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многоугольная линия состоит из нескольких отрезков, соединённых последовательно: конец одного отрезка является началом следующего. Такая линия может быть замкнутой или незамкнутой. Это определение помогает увидеть, из каких частей построена граница будущей фигуры.
Многоугольник — это замкнутая многоугольная линия вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Замкнутая означает, что линия возвращается в начальную точку, а внутри неё есть область. Поэтому многоугольником называют не только линию, но и фигуру, которую она очерчивает.
Стороны многоугольника — это отрезки его границы, а вершины — точки, в которых соединяются соседние стороны. Число вершин и сторон у многоугольника одинаково. Различать эти элементы нужно, чтобы правильно описывать фигуру и считать её стороны.
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Обычно его обозначают буквой P. Периметр показывает общую длину границы фигуры и помогает решать задачи, в которых нужно узнать, например, сколько материала потребуется для ограждения.
Представь, что несколько отрезков лежат один за другим: конец первого совпадает с концом второго, конец второго — с началом третьего и так далее. В местах соединения получаются вершины, а сами отрезки становятся сторонами линии. Так от отдельных частей возникает единая многоугольная линия, которую можно проследить одним непрерывным движением.
Чтобы эта линия ограничивала многоугольник, она должна быть замкнутой: её последний отрезок должен соединиться с начальной точкой. Если этого не произошло, у фигуры остаётся разрыв, и нельзя определить замкнутую область внутри неё. Кроме того, линия не должна пересекать сама себя: при пересечении возникают дополнительные точки соединения и фигура уже не является обычным многоугольником.
Название многоугольника зависит от количества его сторон, а значит, и вершин. Если сторон три, это треугольник; если четыре — четырёхугольник; если пять — пятиугольник. Сначала удобно обойти границу и посчитать стороны по одной, не пропуская и не считая одну сторону дважды.
Периметр находят сложением длин всех сторон, потому что он равен всей длине границы. Например, при длинах 2 см, 3 см и 4 см нужно вычислить 2 + 3 + 4. Если стороны равны, одинаковое слагаемое повторяется несколько раз, поэтому вместо сложения можно умножить длину стороны на количество сторон. Результат записывают в единицах длины, например в сантиметрах.
| Элемент или характеристика | Что означает | Как определить |
|---|---|---|
| Сторона | Отрезок на границе многоугольника | Найти отрезки, соединяющие соседние вершины |
| Вершина | Точка соединения двух соседних сторон | Посчитать точки, в которых стороны сходятся |
| Число сторон и название многоугольника | Количество сторон задаёт название фигуры | Посчитать стороны и подобрать название по их числу |
| Периметр | Сумма длин всех сторон | Сложить длины сторон; при равных сторонах умножить длину одной на их число |
Пользуйся таблицей, когда нужно назвать элементы фигуры или проверить, правильно ли ты их посчитал. Для названия сначала найди количество сторон, а для периметра — длину каждой стороны. Если стороны равны, применяй умножение только после проверки этого условия.
Задача 1. На рисунке изображены несколько линий из отрезков. Определите, какие из них являются многоугольниками. Самого рисунка здесь нет, поэтому для каждой линии нужно применить один и тот же признак. Важно проверять одновременно замкнутость и отсутствие самопересечений.
Ответ: многоугольниками являются замкнутые линии без самопересечений. Линию с разрывом или пересечением многоугольником не считают. Идея проверки — внимательно пройти всю границу и проверить оба признака.
Задача 2. У пятиугольника стороны имеют длины 3 см, 4 см, 5 см, 4 см и 6 см. Нужно найти периметр. Поскольку указаны длины всех сторон, можно сложить их напрямую. Убедимся, что ни одна сторона не пропущена: чисел пять, как и сторон у пятиугольника.
Ответ: периметр пятиугольника равен 22 см. Умножать одну длину на число сторон здесь нельзя, потому что стороны имеют разные длины. Проверка простая: в сумме должны присутствовать все пять значений из условия.
Задача 3. У многоугольника все стороны равны, длина каждой стороны — 7 см, а периметр — 42 см. Нужно определить количество сторон и назвать фигуру. Поскольку стороны равны, периметр составлен из одинаковых слагаемых по 7 см. Значит, число сторон можно найти делением общей длины границы на длину одной стороны.
Ответ: у многоугольника 6 сторон, это шестиугольник. Проверить результат можно умножением: 7 · 6 = 42 см. Полученное произведение совпало с данным периметром.
Ошибка — назвать многоугольником незамкнутую линию. Её допускают, когда смотрят на похожие на фигуру отрезки, но не проверяют место соединения начала и конца. Проведи пальцем по линии: если в конце нужно «перепрыгнуть» через разрыв, это не многоугольник.
Ошибка — считать многоугольником линию, стороны которой пересекаются не только в соседних вершинах. Пересечение может выглядеть как дополнительная точка соединения, поэтому фигура кажется замкнутой. Проверь каждый отрезок: он должен встречаться с соседними сторонами в вершинах, а не пересекать другие части линии.
Ошибка — путать вершины и стороны: вершины являются точками, а стороны — отрезками. Так бывает, если считать все элементы просто «углами» или «линиями». Чтобы проверить себя, посчитай отдельно точки соединения и отрезки между ними: у многоугольника их количества равны.
Ошибка — при вычислении периметра пропустить сторону или умножить длину стороны на их число, хотя стороны разные. Обычно так происходит из-за невнимательного подсчёта или попытки применить удобное правило без проверки. Сверь каждое слагаемое с длиной отдельной стороны; умножение используй только тогда, когда все стороны равны.
Для работы с многоугольниками нужно уметь распознавать отрезки и измерять их длины. Ещё понадобится складывать величины длины, например сантиметры с сантиметрами. Если единицы измерения разные, сначала приведи их к одинаковым.
Периметр пригодится в задачах, где нужно узнать длину границы фигуры: например, определить, сколько ленты или ограждения потребуется. Позже умение разбираться в границах многоугольника поможет при изучении площадей. Периметр и площадь отвечают на разные вопросы: длину границы и размер части плоскости внутри неё.
Чем многоугольная линия отличается от многоугольника?
Многоугольная линия состоит из отрезков, последовательно соединённых концами. Она может быть незамкнутой. Многоугольник — это замкнутая линия без самопересечений вместе с частью плоскости внутри неё.
Может ли многоугольник иметь стороны разной длины?
Да, длины сторон могут различаться. Например, у пятиугольника стороны могут иметь длины 3 см, 4 см, 5 см, 4 см и 6 см. Для нахождения периметра нужно сложить их все.
Как определить название многоугольника?
Посчитай его стороны или вершины: их число одинаково. Три стороны — треугольник, четыре — четырёхугольник, пять — пятиугольник. Дальше используют названия по числу сторон.
Почему у многоугольника число вершин равно числу сторон?
Каждая сторона соединяет две соседние вершины. При обходе замкнутой границы после каждой стороны встречается следующая вершина, а в конце линия возвращается к начальной точке. Поэтому каждой вершине соответствует одна сторона.
Как найти периметр, если известны длины не всех сторон?
Если известны не все длины и нет дополнительной информации, периметр найти точно нельзя. Но иногда неизвестные стороны можно определить по условию, например если сказано, что все стороны равны. После этого сложи длины всех сторон.
19. Многоугольники
