Многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая фигура, ограниченная несколькими отрезками. Это значит, что её граница состоит из прямых частей и не имеет разрыва. Отрезки должны соединяться концами, а последний — возвращаться к первому. По этому признаку многоугольник можно отличить от фигуры с кривой границей.

Сторона многоугольника — отрезок, который ограничивает фигуру и соединяет две соседние вершины. Стороны образуют границу многоугольника, поэтому их считают, когда определяют название фигуры. Длину стороны можно измерить линейкой. Эти измерения понадобятся, если нужно найти периметр.

Вершина многоугольника — точка, в которой соединяются две стороны. Вершинами являются углы фигуры, а не сами отрезки. Их считают, чтобы описать строение многоугольника и проверить, что ни одна часть границы не пропущена. У каждой вершины сходятся две соседние стороны.

Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Периметр показывает, сколько нужно пройти вдоль всей границы фигуры, или какую длину имеет эта граница. Чтобы его найти, измеряют стороны и складывают результаты. Все длины перед сложением записывают в одинаковых единицах.

Как это устроено

Чтобы из отрезков получился многоугольник, они должны соединиться концами и образовать замкнутую линию. Если отрезки просто лежат рядом, но не соприкасаются, общей границы не получится. Если один конец линии остался свободным, она не замкнулась. Поэтому при проверке сначала проследи границу от одного места соединения до следующего, пока не вернёшься в начало.

Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин, потому что каждый отрезок соединяет две соседние точки соединения. Между одной вершиной и следующей проходит одна сторона. Если обходить фигуру по границе, после каждого отрезка встречается новая вершина, а после последней стороны путь возвращается к начальной точке. Для проверки можно отдельно пересчитать отрезки и точки их соединения.

Многоугольник отличается от незамкнутой ломаной тем, что у него начало и конец границы соединены. Ломаная состоит из отрезков, соединённых концами, но у незамкнутой ломаной остаются свободные концы. Поэтому одного подсчёта отрезков недостаточно: нужно проверить, образуют ли они непрерывный путь и замыкается ли он. Если между концами есть разрыв, многоугольника нет.

Название многоугольника зависит от числа его сторон. Фигуру с тремя сторонами называют треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником. Названия помогают быстро сообщить, сколько сторон у фигуры, но сначала их нужно правильно пересчитать. Удобно начать с любой стороны и двигаться по границе, отмечая уже посчитанные отрезки.

Периметр находят, измеряя длину каждой стороны и складывая результаты. Складывают именно длины, потому что периметр — это общая длина всей границы. Если какая-то сторона пропущена, сумма окажется меньше настоящего периметра. Перед вычислением проверь, что все измерения даны в одинаковых единицах, например в сантиметрах.

Многоугольники по числу сторон

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посчитай стороны фигуры, а затем найди такое же число в столбце. В этой строке указано название многоугольника и число его вершин. Число сторон и вершин должно совпасть.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена замкнутая фигура из четырёх отрезков. Назови её и укажи число вершин. Нужно определить число сторон, а затем вспомнить название фигуры с таким числом сторон. Условие сообщает, что отрезков четыре и линия замкнута, значит, перед нами многоугольник.

1. Считаем отрезки границы: их четыре, следовательно, у фигуры четыре стороны.
2. Находим в таблице название многоугольника с четырьмя сторонами: это четырёхугольник.
3. Число вершин равно числу сторон, поэтому вершин тоже четыре.

Ответ: четырёхугольник, 4 вершины. В задаче важно было использовать условие о замкнутости: только тогда фигуру можно назвать многоугольником. Число вершин можно проверить, пересчитав точки соединения отрезков.

Задача 2. Длины сторон многоугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найди его периметр. Периметр — это общая длина границы, поэтому складываем длины всех трёх сторон. Единицы измерения одинаковые, значит, можно сразу выполнять сложение.

1. Записываем длины сторон: 3 см, 4 см и 5 см.
2. Складываем их: 3 + 4 + 5 = 12.
3. Оставляем единицу измерения, потому что складывали сантиметры.

Ответ: периметр равен 12 см. Проверка: в сумму вошла длина каждой из трёх сторон. Если сложить только две длины, часть границы останется неучтённой.

Задача 3. У четырёхугольника три стороны имеют длины 2 см, 4 см и 5 см, а периметр равен 15 см. Найди длину четвёртой стороны. Периметр включает длины всех четырёх сторон. Сначала найдём, сколько сантиметров дают три известные стороны, а затем сравним их сумму с полным периметром.

1. Складываем известные длины: 2 + 4 + 5 = 11 см.
2. Вычитаем эту сумму из периметра: 15 − 11 = 4 см.
3. Проверяем сложением: 2 + 4 + 5 + 4 = 15 см.

Ответ: длина четвёртой стороны равна 4 см. Вычитание подходит, потому что полный периметр состоит из известных сторон и одной неизвестной. Проверка показывает, что с найденной длиной сумма снова равна заданному периметру.

Типичные ошибки

Ошибка: считать многоугольником незамкнутую ломаную. Её можно принять за многоугольник, если смотреть только на отрезки и не проверить их концы. Но у незамкнутой линии остаётся разрыв, а граница многоугольника должна возвращаться к началу. Проведи взглядом по линии и проверь, соединены ли её начало и конец.

Ошибка: путать сторону и вершину. Это происходит потому, что сторона и вершина находятся рядом и участвуют в построении границы. Однако сторона — отрезок, а вершина — точка соединения сторон. Проверь себя вопросом: «Я считаю линию или место, где линии встречаются?»

Ошибка: называть фигуру по числу вершин, не проверив число сторон. При быстром подсчёте легко пропустить отрезок или посчитать одну точку дважды. У замкнутого многоугольника числа сторон и вершин должны совпасть. Пересчитай элементы по границе в одном направлении, а затем сравни результаты.

Ошибка: при вычислении периметра сложить не все стороны или смешать сантиметры и метры. Обычно это случается, если не отмечать уже учтённые стороны или сразу складывать записи с разными единицами. Перечисли длину каждой стороны и сначала переведи их в одну единицу измерения. После сложения проверь, что в записи периметра указана эта же единица.

Связь с другими темами

Для работы с многоугольниками нужно различать точку и отрезок, считать предметы и измерять длину. Эти умения помогают увидеть, где расположены вершины, какие отрезки являются сторонами и какова их длина. Периметр пригодится при изучении периметров треугольника и четырёхугольника. Он также помогает решать практические задачи, где нужно измерить длину границы фигуры.

Что запомнить

• Многоугольник — замкнутая фигура из отрезков.
• Стороны многоугольника соединяются в вершинах.
• Число сторон равно числу вершин.
• Название многоугольника зависит от числа его сторон.
• Периметр — сумма длин всех сторон.
• Перед сложением длины нужно выразить в одинаковых единицах.