§ 2. Многоугольники

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая фигура, граница которой состоит из отрезков. Замкнутая значит, что границу можно обойти и вернуться в исходную точку. Это определение помогает отличить многоугольник от незамкнутой ломаной.

Вершина многоугольника — общая точка двух соседних сторон. Вершины обычно обозначают заглавными латинскими буквами: A, B, C, D. По вершинам удобно называть фигуру, перечисляя их по порядку обхода границы.

Сторона многоугольника — отрезок его границы, соединяющий две соседние вершины. Например, в многоугольнике ABCD сторонами будут AB, BC, CD и DA. Стороны образуют саму границу фигуры, поэтому их длины нужны для вычисления периметра.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Он не является частью границы и обычно проходит внутри фигуры. Диагонали помогают увидеть внутреннее устройство многоугольника и разделить его на более простые части.

Как это устроено

Стороны многоугольника должны образовывать замкнутую ломаную, потому что только так появляется единая граница фигуры. Конец одного отрезка соединяется с началом следующего, поэтому при движении по сторонам нельзя попасть в разрыв. Последняя сторона соединяет последнюю вершину с первой и замыкает границу. Если этого соединения нет, получилась бы незамкнутая ломаная, а не многоугольник.

Число сторон связано с числом вершин напрямую: каждая сторона начинается в одной вершине и заканчивается в другой. При обходе границы вершины встречаются по порядку, например A, B, C, D, а стороны записываются как AB, BC, CD и DA. Последняя сторона возвращает нас к первой вершине. Поэтому в замкнутом многоугольнике сторон и вершин поровну.

Название многоугольника зависит от числа его сторон. Фигура с тремя сторонами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником. Например, если при подсчёте границы получилось шесть отрезков, перед нами шестиугольник. Считать нужно именно стороны границы, а не отрезки, проведённые внутри фигуры.

Чтобы отличить диагональ от стороны, нужно сравнить вершины, которые соединяет отрезок. Если вершины соседние, отрезок является стороной и лежит на границе. Если вершины несоседние, отрезок является диагональю и проходит внутри многоугольника. Периметр находят сложением длин всех сторон, потому что периметр — это длина всей границы фигуры.

Многоугольники по числу сторон

Чтобы пользоваться таблицей, сначала посчитай стороны фигуры, а затем найди соответствующее название. Число вершин можно использовать для проверки: оно должно совпасть с числом сторон. Если подсчёт не совпал, одну из сторон или вершин, вероятно, пропустили.

Разбор задач

Задача 1. Замкнутая ломаная

Условие: определить, является ли замкнутая ломаная из пяти отрезков пятиугольником, и указать число её вершин. В условии уже сказано, что ломаная замкнута. Значит, остаётся проверить число отрезков и связанное с ним число вершин.

1. Проверяем замкнутость: последняя сторона соединяется с первой вершиной, поэтому граница не имеет разрыва.
2. Считаем стороны: их пять.
3. У замкнутого многоугольника число сторон равно числу вершин, поэтому вершин тоже пять.
4. Фигура с пятью сторонами называется пятиугольником.

Ответ: да, ломаная является пятиугольником; у неё 5 сторон и 5 вершин.

Задача 2. Стороны и диагонали четырёхугольника ABCD

Условие: в четырёхугольнике ABCD назвать стороны и диагонали. Буквы уже записаны по порядку обхода границы. Поэтому соседние буквы образуют стороны, а несоседние — диагонали.

1. Берём соседние вершины A и B, B и C, C и D, а также D и A. Получаем стороны AB, BC, CD и DA.
2. Находим пары несоседних вершин: A и C, B и D.
3. Соединяем эти пары отрезками и получаем диагонали AC и BD.
4. Проверяем себя: у четырёхугольника четыре стороны, а названные диагонали не лежат на его границе.

Ответ: стороны — AB, BC, CD, DA; диагонали — AC и BD.

Задача 3. Периметр пятиугольника

Условие: стороны пятиугольника имеют длины 3 см, 4 см, 4 см, 5 см и 6 см. Периметр обозначает длину всей границы, поэтому нужно учесть каждую из пяти сторон. Единицы измерения у всех длин одинаковые, значит, результат получим в сантиметрах.

1. Записываем формулу: P = a + b + c + d + e.
2. Подставляем длины: P = 3 + 4 + 4 + 5 + 6.
3. Складываем последовательно: 3 + 4 = 7, 7 + 4 = 11, 11 + 5 = 16, 16 + 6 = 22.
4. Записываем единицу длины после результата.

Ответ: P = 22 см.

Типичные ошибки

Незамкнутая ломаная называют многоугольником. Так ошибаются, когда считают только отрезки и не проверяют соединение концов. Проведи взглядом по всей границе: если последний отрезок не возвращается к начальной точке, это не многоугольник.

Отрезок между соседними вершинами считают диагональю. Такое происходит, если забыть значение слова «соседние». Проверь положение отрезка: часть границы между соседними вершинами — сторона, а соединение несоседних вершин — диагональ.

Путают число сторон и вершин. Иногда вершины считают только по углам, а одну точку в месте замыкания пропускают или считают дважды. Обойди границу по порядку и убедись, что каждая сторона имеет начало и конец в вершинах; числа должны совпасть.

При вычислении периметра складывают не все стороны или повторяют одну. Ошибка появляется при невнимательном обходе границы. Подпиши или перечисли стороны по кругу и складывай каждую ровно один раз.

Связь с другими темами

До изучения многоугольников нужно знать, что такое отрезок, ломаная и длина отрезка. Эти понятия помогают понять, из чего составлена граница фигуры. Без них трудно правильно посчитать стороны и найти периметр.

Периметр многоугольника пригодится в задачах на измерение и вычисление длины границы фигур. Например, по нему можно узнать, сколько материала нужно для ограждения участка. Для решения достаточно сложить длины всех участков границы.

Стороны, вершины и диагонали понадобятся при изучении треугольников и четырёхугольников. Эти фигуры являются отдельными видами многоугольников. Понимание общих терминов облегчит их дальнейшее изучение.

Что запомнить

• Многоугольник имеет замкнутую границу из отрезков.
• Стороны многоугольника — отрезки его границы.
• Вершины — общие точки соседних сторон.
• Число сторон равно числу вершин.
• Диагональ соединяет несоседние вершины.
• Периметр — сумма длин всех сторон.