§ 1. Фигуры на плоскости

Определения и обозначения

Прямая — бесконечная линия без начала и конца. Через две точки её можно обозначить, например, прямой AB; также прямую обозначают строчной латинской буквой, например a. Такое обозначение помогает понять, о какой именно линии говорится, даже если на чертеже несколько прямых.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, например концами отрезка AB являются A и B. По ним можно точно указать, где часть прямой начинается и где заканчивается.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца. Его обозначают двумя буквами: первой записывают начало, а второй — ещё одну точку на луче, например луч OA начинается в O и проходит через A. Это обозначение показывает направление луча.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, у угла AOB вершина O, стороны — лучи OA и OB; букву вершины ставят посередине, чтобы не перепутать её с точками на сторонах.

Как это устроено

Точка задаёт положение на плоскости: у неё нет длины и ширины, но с её помощью удобно отмечать нужные места. Поэтому точки ставят на концах отрезков, в начале лучей и там, где соединяются стороны угла. Заглавные латинские буквы позволяют различать эти места на чертеже. Если точка названа O, то все обозначения с O указывают на одну и ту же отмеченную точку.

Две разные точки определяют единственное направление линии, которая проходит через них, поэтому через них можно провести только одну прямую. Представь, что натянутая нить проходит через две отметки: изменить её положение, сохранив обе отметки на нити, уже нельзя. На этой прямой можно выделить только часть между точками — получится отрезок. Если же оставить одну точку началом и продолжить линию в одну сторону, получится луч.

Обозначения фигур связаны с тем, какие точки помогают их распознать. Точку называют одной заглавной латинской буквой, а прямую можно назвать строчной буквой или указать две точки, лежащие на ней. Для отрезка записывают его концы, а для луча — начало и ещё одну точку по направлению его движения. Поэтому одинаковые буквы сами по себе ещё не означают одинаковую фигуру: важно, что именно обозначается и в каком порядке стоят буквы.

Два луча с общим началом образуют угол, потому что от общей точки они расходятся в двух направлениях. Общая точка становится вершиной, а каждый луч — стороной угла. В записи ∠AOB буква O стоит между A и B, значит, именно O является вершиной. Порядок букв A и B можно поменять, если стороны те же: ∠BOA обозначает тот же угол.

Чтобы распознать фигуру на плоскости, сначала посмотри на её границы и отметь важные точки. Если линия продолжается в обе стороны, у неё нет ни начала, ни конца; если ограничена двумя точками, это отрезок. Если видишь одну начальную точку и продолжение в одну сторону, перед тобой луч. А если два луча выходят из одной точки, найди эту общую вершину — перед тобой угол.

Как различать основные фигуры на плоскости

Сначала проверь, есть ли у фигуры начало и конец, а затем посмотри, сколько точек ограничивают её или соединяют её части. В последнем столбце можно проверить, правильно ли прочитано обозначение. Углу с тремя буквами всегда найди среднюю букву: она называет вершину.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите фигуру, которая проходит через обе точки, и фигуру, ограниченную этими точками.

1. Через две точки можно провести единственную прямую. Она продолжается в обе стороны, поэтому её обозначают прямой AB.
2. Фигура, ограниченная точками A и B, не продолжается за них. Значит, это отрезок AB, а точки A и B — его концы.

Ответ: прямая AB и отрезок AB. Важно не смешивать их: буквы указывают точки, но прямая продолжается за них, а отрезок заканчивается в этих точках.

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C. Запишите обозначение луча с началом в B, проходящего через C, и луча с началом в B, проходящего через A.

1. В каждом обозначении первой должна стоять буква B, потому что луч начинается в точке B.
2. Для луча, проходящего через C, второй буквой будет C. Получаем луч BC.
3. Для луча, проходящего через A, второй буквой будет A. Получаем луч BA.

Ответ: луч BC и луч BA. Не переставляй буквы местами: луч CB начинался бы в C, а луч AB — в A, то есть это были бы другие лучи.

Задача 3. Луч OA и луч OB имеют общее начало O. Назовите вершину и стороны угла и запишите угол так, чтобы вершина была указана средней буквой.

1. Общее начало лучей — точка O, поэтому она является вершиной угла.
2. Сторонами угла служат сами лучи OA и OB, потому что именно они выходят из вершины.
3. При записи из трёх букв поставим O посередине, а названия точек на сторонах — по краям.

Ответ: вершина — O, стороны — лучи OA и OB, угол — ∠AOB. Можно записать и ∠BOA: стороны те же, а вершина по-прежнему стоит на втором месте.

Типичные ошибки

Прямую иногда считают отрезком, потому что на рисунке обе изображают линией. Но у прямой нет концов, а у отрезка есть две ограничивающие точки. Проверь себя: если линия должна продолжаться за отмеченные точки в обе стороны, это прямая; если она заканчивается в них, это отрезок.

Луч путают с отрезком, потому что оба имеют начальную точку и идут в определённом направлении. Разница в том, что у отрезка есть второй конец, а луч продолжается бесконечно и конца не имеет. Чтобы проверить себя, найди на чертеже конец: если он обозначен, перед тобой не луч, а ограниченная часть линии.

Буквы в обозначении луча иногда записывают в любом порядке, ведь обе точки лежат на одной прямой. Однако первая буква обозначает начало, поэтому перестановка меняет луч. Перед записью найди начальную точку и поставь её первой, а затем укажи другую точку, через которую проходит луч.

В обозначении угла из трёх букв вершину могут поставить не посередине, если воспринимать запись как обычный перечень точек. Тогда по записи нельзя верно определить, где сходятся стороны угла. Проверяй середину: средняя буква должна совпадать с общей точкой двух лучей.

Связь с другими темами

Чтобы читать геометрический чертёж, нужно уметь находить отмеченные точки и узнавать заглавные латинские буквы. Это пригодится при изучении прямых, отрезков и лучей. Из них строят многоугольники, поэтому понимание границ и концов помогает разбирать их устройство. Углы понадобятся дальше, когда их будут сравнивать и измерять.

Что запомнить

• Через две точки проходит единственная прямая.
• У прямой нет ни начала, ни конца.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• В обозначении угла из трёх букв вершину записывают посередине.