Делимость чисел

Определения и обозначения

Число a делится на число b без остатка, если найдётся натуральное число c, при умножении которого на b получится a. Это записывают так: a = b · c. Например, 12 делится на 3, потому что 3 · 4 = 12. Такое определение помогает заменить деление умножением и проверять, есть ли остаток.

Делитель числа — это натуральное число, на которое исходное число делится без остатка. Например, делители 12 — 1, 2, 3, 4, 6 и 12: каждый из них делит 12 без остатка. Поиск делителей помогает выяснить, на какие равные группы можно разделить предметы. Среди делителей любого натурального числа есть 1 и само число.

Кратное числа — это число, которое получается при умножении исходного числа на натуральное число. Например, 18 — кратное 6, потому что 6 · 3 = 18. Кратные показывают, какие числа можно получить, считая равными группами по заданному количеству. Так, 6, 12 и 18 — кратные 6.

Простое число имеет ровно два натуральных делителя: 1 и само число; у составного числа делителей больше двух. Например, 7 — простое, а 12 — составное. Число 1 стоит отдельно: у него только один натуральный делитель, поэтому оно не относится ни к простым, ни к составным. Это различие нужно, чтобы правильно описывать числа по их делителям.

Как это устроено

Деление без остатка связано с умножением, потому что деление проверяет, можно ли восстановить исходное число произведением. Если a делится на b, то существует натуральное c, для которого a = b · c. Например, 20 делится на 5, так как 5 · 4 = 20. Если такого натурального множителя нет, деление не будет без остатка.

У числа есть несколько делителей, потому что одно и то же произведение можно представить парами множителей, меняя местами числа. У 12 это пары 1 · 12, 2 · 6 и 3 · 4, поэтому делителями будут 1, 2, 3, 4, 6 и 12. А кратных бесконечно много: умножаем 12 на 1, 2, 3 и так далее и получаем 12, 24, 36 и другие числа. Натуральных множителей не кончается, поэтому не кончаются и кратные.

Признаки делимости на 2, 5 и 10 связаны с тем, что число можно разложить на десятки и единицы. Например, 47 — это 4 десятка и 7 единиц, а число 50 состоит из десятков без единиц. Десятки делятся на 2, 5 и 10 без остатка, поэтому остаток при делении на эти числа зависит от последней цифры. Так число 47 не делится ни на 2, ни на 5, ни на 10, а 50 делится на все три.

Для проверки делимости на 3 и 9 важна сумма цифр, потому что десятки, сотни и следующие разряды при делении на 3 или 9 дают тот же остаток, что и соответствующие единицы. Поэтому можно сложить цифры числа и проверить сумму. Например, сумма цифр 4 572 равна 18: она делится и на 3, и на 9, значит, 4 572 делится на оба числа. У числа 4 571 сумма цифр равна 17, поэтому оно не делится ни на 3, ни на 9.

Чтобы найти все делители, перебирают пары множителей, произведение которых равно заданному числу. Достаточно искать пары, пока первый множитель не станет больше второго: после этого пары начнут повторяться в обратном порядке. Если кроме пары 1 и самого числа других пар нет, число простое; если есть дополнительные пары — составное. Например, у 11 только одна пара 1 · 11, а у 12 есть также 2 · 6 и 3 · 4.

Признаки делимости натуральных чисел

Сначала выбери нужное число, на которое проверяешь делимость, а затем найди соответствующую строку. Для 2, 5 и 10 достаточно посмотреть на последнюю цифру, а для 3 и 9 нужно сложить все цифры. Если признак выполняется, число делится без остатка.

Разбор задач

Задача: найти все натуральные делители числа 12. Будем искать пары множителей, произведение которых равно 12, и записывать оба числа из каждой пары. Когда пары начнут повторяться в обратном порядке, перебор можно остановить. Так мы не пропустим делитель и не запишем один и тот же повторно.

1. Проверяем множитель 1: 1 · 12 = 12, значит, подходят 1 и 12.
2. Проверяем 2: 2 · 6 = 12, значит, подходят 2 и 6.
3. Проверяем 3: 3 · 4 = 12, значит, подходят 3 и 4.
4. Следующий множитель 4 даст уже найденную пару 4 и 3, поэтому дальше проверять не нужно.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Перебор пар показал, что других делителей у 12 нет. Число 12 составное, потому что его натуральных делителей больше двух.

Задача: определить, делятся ли 735 и 742 на 2, 5 и 10 без остатка. Для этих чисел достаточно проверить последнюю цифру: у 735 это 5, а у 742 — 2. Сравним каждую цифру с признаками делимости. Это позволяет обойтись без деления столбиком.

1. Для 735 последняя цифра 5, поэтому число не делится на 2 и на 10, но делится на 5.
2. Для 742 последняя цифра 2, поэтому число делится на 2, но не делится на 5 и на 10.
3. Проверяем, что выводы соответствуют признакам: на 2 подходят чётные последние цифры, на 5 — 0 или 5, на 10 — только 0.

Ответ: 735 делится на 5, но не делится на 2 и 10; 742 делится на 2, но не делится на 5 и 10. Каждое число проверялось по той же последней цифре, но для трёх делителей признаки разные. Поэтому важно не смешивать условия.

Задача: не выполняя деление, определить, делится ли 4 572 на 3 и на 9, а затем указать, на какое из этих чисел оно делится. Для обоих признаков нужна сумма всех цифр. Если сумма делится на 9, то она делится и на 3, поскольку 9 = 3 · 3.

1. Складываем цифры числа: 4 + 5 + 7 + 2 = 18.
2. Проверяем 18: оно делится на 3, так как 18 = 3 · 6, и на 9, так как 18 = 9 · 2.
3. По признакам делимости заключаем, что исходное число делится и на 3, и на 9.

Ответ: 4 572 делится на 3 и на 9, то есть на оба числа. Здесь не нужно проверять только последнюю цифру: для 3 и 9 важна сумма всех цифр. Сумма 18 проходит обе проверки.

Типичные ошибки

Делитель и кратное иногда считают одним и тем же, потому что оба понятия связаны с умножением и делением. Но делитель делит исходное число без остатка, а кратное получается, если умножить исходное число на натуральное число. Например, 3 — делитель 12, а 12 — кратное 3. Для проверки спроси себя: число делит другое или само получено умножением?

При поиске делителей иногда забывают 1 или само исходное число, потому что проверяют только деление на числа между ними. Однако любое натуральное число делится на 1 и на себя без остатка. Например, у 12 обязательно нужно записать и 1, и 12. Чтобы проверить список, убедись, что деление на каждый из этих двух чисел даёт целое число.

Ошибочно проверять делимость на 3 или 9 только по последней цифре: так поступают по привычке после признаков для 2, 5 и 10. Для 3 и 9 нужно сложить все цифры числа, а затем проверить полученную сумму. Например, у 4 572 последняя цифра 2, но это не говорит о делимости на 3 или 9. Самопроверка простая: если ты не находил сумму цифр, признак применён неверно.

Число 1 иногда называют простым, потому что оно делится на себя без остатка. Но у простого числа должно быть ровно два натуральных делителя, а у 1 он только один. Поэтому 1 не является ни простым, ни составным. Перед классификацией посчитай натуральные делители числа: для 1 их не два и не больше двух.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в делимости, нужно уверенно умножать и делить натуральные числа, понимать деление с остатком и находить пары множителей. Например, проверка делимости опирается на вопрос, можно ли представить число произведением двух натуральных чисел. Эти умения помогают не только решить текущие задачи, но и проверить результат вычислений.

Делимость пригодится при сокращении дробей: числитель и знаменатель можно разделить на общий делитель. Она нужна и при приведении дробей к общему знаменателю, а также при разложении чисел на простые множители. Поэтому знание делителей и признаков делимости упрощает дальнейшую работу с дробями и числами.

Что запомнить

• Если a делится на b без остатка, то a = b · c для некоторого натурального c.
• Делитель числа делит его без остатка; кратное числа получается умножением на натуральное число.
• У простого числа ровно два натуральных делителя: 1 и само число.
• Число 1 не является ни простым, ни составным.
• На 2 число делится, если его последняя цифра чётная.
• На 5 и на 10 число проверяют по последней цифре.
• Делимость на 3 и 9 проверяют по сумме цифр числа.