20. Делители и кратные

Определения и обозначения

Натуральное число a называют делителем натурального числа b, если b делится на a без остатка. Например, 4 — делитель 20, потому что 20 : 4 = 5. Значит, при проверке важно смотреть, делится ли нацело именно число b на число a. Понятие делителя помогает выяснить, на какие равные группы можно разделить предметы.

Число b называют кратным натурального числа a, если b делится на a без остатка. Например, 20 кратно 4, так как 20 : 4 = 5. Делитель и кратное описывают одну связь с разных сторон: если a — делитель b, то b — кратное a. Это удобно помнить, когда нужно правильно назвать каждое из чисел.

Общий делитель двух или нескольких чисел — это число, которое делит каждое из них без остатка. Например, 3 — общий делитель 12 и 18: оба числа делятся на 3 нацело. Чтобы найти такие числа, нужно проверить делимость каждого рассматриваемого числа, а не только одного. Общие делители показывают, на какие одинаковые по размеру группы можно разделить несколько наборов.

Общее кратное двух или нескольких чисел — число, которое делится на каждое из них без остатка. Например, 12 — общее кратное 3 и 4, потому что 12 делится и на 3, и на 4. Это понятие помогает находить момент, когда повторяющиеся события происходят вместе. Для поиска общего кратного удобно сравнивать списки кратных каждого числа.

Как это устроено

Проверить, является ли число делителем другого, можно обычным делением с остатком. Если остаток равен нулю, деление произошло без остатка и первое число подходит на роль делителя; если остаток не ноль — не подходит. Например, 18 : 6 = 3, значит, 6 — делитель 18. А при 18 : 7 получается остаток 4, поэтому 7 делителем 18 не является.

Чтобы найти все делители числа, проверяй по порядку натуральные числа от 1 до этого числа. Каждый раз дели исходное число на проверяемое и записывай его, только если остаток равен нулю. Проверка до самого числа нужна потому, что само оно тоже делится на себя. Так список не пропустит ни одного возможного делителя и не включит неподходящие числа.

У любого натурального числа есть делители 1 и само это число: любое число делится на 1, а на себя делится с результатом 1. Между ними могут быть и другие делители, например у 12 это 2, 3, 4 и 6. У числа 1 только один делитель — сама единица, потому что проверять можно лишь натуральные числа от 1 до 1. Эти крайние случаи помогают проверить, не пропущен ли первый или последний делитель в списке.

Кратные числа получают умножением исходного числа на натуральные числа: сначала на 1, затем на 2, на 3 и так далее. Например, кратные 5 начинаются так: 5, 10, 15, 20. При каждом следующем умножении результат растёт, поэтому список не заканчивается и кратных бесконечно много. Это отличается от списка делителей: делитель не может быть больше самого числа.

Чтобы найти общие делители двух чисел, составь их списки делителей и оставь совпадающие числа. Например, списки для 12 и 18 содержат 1, 2, 3 и 6 в обоих случаях. Для общих кратных выпиши кратные каждого числа и ищи совпадения: если нужно самое маленькое общее кратное, выбери первое совпадение в возрастающих списках. Проверка по обоим спискам необходима, иначе можно принять за общее число, подходящее только одному из них.

Делители и кратные: сравнение понятий

Смотри сначала на то, какое действие описывает понятие: делитель делит, а кратное делится. Затем проверь деление без остатка. В примерах для общих понятий оба числа указаны, потому что нужно проверить условие сразу для пары.

Разбор задач

Выпиши все делители числа 18.

Нужно проверить натуральные числа от 1 до 18 и оставить те, на которые 18 делится без остатка. Проверку удобно вести по порядку, чтобы не пропустить числа. Если частное получается целым, проверяемое число включаем в список.

1. Проверяем 1 и 2: 18 : 1 = 18, 18 : 2 = 9; оба числа подходят.
2. Проверяем 3, 4 и 5: 18 : 3 = 6, а при делении на 4 и 5 остаток не равен нулю.
3. Проверяем 6, 7 и 8: 18 : 6 = 3; деление на 7 и 8 не происходит нацело.
4. Продолжаем до 18. На 9, 18 и также на 10–17 число 18 делится без остатка только на 9 и 18.

Ответ: 1, 2, 3, 6, 9, 18. У каждого числа из списка деление 18 на него даёт остаток 0.

Найди общие делители чисел 12 и 18.

Общий делитель должен подходить сразу обоим числам. Поэтому сначала найдём все делители каждого числа, а потом сравним списки. Совпавшие числа и будут ответом.

1. Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
2. Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
3. Сравниваем списки: в обоих есть 1, 2, 3 и 6.

Ответ: общие делители чисел 12 и 18 — 1, 2, 3, 6. Каждый из них делит оба числа без остатка.

Два звонка прозвучали одновременно. Первый звонит каждые 6 минут, второй — каждые 8 минут. Через сколько минут они снова прозвучат вместе?

Время звонков первого устройства — кратные 6, второго — кратные 8. Нужно найти самое раннее время после начала, которое есть в обоих списках. Оно должно делиться без остатка и на 6, и на 8.

1. Записываем кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30…
2. Записываем кратные 8: 8, 16, 24, 32…
3. Находим первое совпадение после начала: это 24.
4. Проверяем: 24 : 6 = 4 и 24 : 8 = 3, значит, оба звонка прозвучат в это время.

Ответ: через 24 минуты. Мы выбрали первое совпавшее кратное, потому что вопрос спрашивает, когда звонки прозвучат вместе в следующий раз.

Типичные ошибки

• Называть число делителем, хотя при делении остаётся остаток. Так бывает, если смотреть только на результат деления и не проверять остаток. Для делителя деление должно быть без остатка. Проверь деление ещё раз или выполни умножение: делитель, умноженный на целое натуральное число, должен дать исходное число.

• Путать, какое число является делителем, а какое — кратным. Например, в записи 20 : 4 = 5 делителем является 4, а 20 — кратное 4. Ошибка возникает, когда оба понятия запоминают как просто «связанные числа». Спроси себя: какое число делит, а какое делится?

• Считать, что у числа конечное количество кратных. Кратные можно найти, умножая число на всё большие натуральные числа, поэтому список продолжается. Конечным бывает список делителей, потому что делитель не больше исходного числа. Для самопроверки запиши ещё несколько произведений и увидишь, что кратные продолжаются.

• При поиске общих делителей или кратных смотреть только на один список. Число из него может не подходить второму числу. Сравни оба списка и проверяй каждое выбранное число делением без остатка. Для общего делителя оно должно делить оба числа, а общее кратное должно делиться на оба.

Связь с другими темами

Чтобы работать с делителями и кратными, нужно уметь делить натуральные числа с остатком и определять, когда остаток равен нулю. Эти знания помогают изучать признаки делимости: с их помощью можно быстрее узнавать, делится ли число на другое. Позже понятия пригодятся при разложении чисел на простые множители и сокращении дробей. Во всех этих случаях важно находить числа, связанные делением без остатка.

Что запомнить

• Делитель делит число без остатка.
• Кратное делится на исходное число без остатка.
• Если a — делитель b, то b — кратное a.
• У любого натурального числа есть делители 1 и само это число.
• У натурального числа бесконечно много кратных.
• Общий делитель подходит каждому из рассматриваемых чисел.
• Общее кратное делится на каждое из рассматриваемых чисел.